Задание A001CF

Шаг 1 ▼

Пусть $ X $ — размер ежегодного платежа. После начисления 25% в январе долг увеличивается в $ 1.25 $ раза. Если начальный долг $ S = 177120 $, то после четырёх равных платежей долг будет погашен.

Результат:

Уравнение для погашения кредита: сумма приведённых к началу платежей равна сумме кредита. Приведём платежи к моменту выдачи кредита.

Шаг 2 ▼

Приведём каждый платёж. Первый платёж $ X $ вносится через год, его приведённая стоимость $ \frac{X}{1.25} $. Второй — через два года: $ \frac{X}{1.25^2} $, третий — $ \frac{X}{1.25^3} $, четвёртый — $ \frac{X}{1.25^4} $. Их сумма равна $ S $.

Результат:

$ \frac{X}{1.25} + \frac{X}{1.25^2} + \frac{X}{1.25^3} + \frac{X}{1.25^4} = 177120 $.

Шаг 3 ▼

Умножим обе части на $ 1.25^4 $. Получим:
$$
X\left(1.25^3 + 1.25^2 + 1.25 + 1\right) = 177120 \cdot 1.25^4.
$$

Результат:

Сумма в скобках — сумма геометрической прогрессии: $ 1 + 1.25 + 1.25^2 + 1.25^3 = \frac{1.25^4 - 1}{1.25 - 1} = \frac{1.25^4 - 1}{0.25} $.

Шаг 4 ▼

Подставим $ 1.25 = \frac{5}{4} $. Тогда $ 1.25^4 = \left(\frac{5}{4}\right)^4 = \frac{625}{256} $. Вычислим сумму:
$$
\frac{\frac{625}{256} - 1}{\frac{1}{4}} = \frac{\frac{625-256}{256}}{\frac{1}{4}} = \frac{369}{256} \cdot 4 = \frac{369}{64}.
$$

Результат:

Уравнение принимает вид:

$$
X \cdot \frac{369}{64} = 177120 \cdot \frac{625}{256}.
$$

Шаг 5 ▼

Найдём $ X $:
$$
X = 177120 \cdot \frac{625}{256} \cdot \frac{64}{369} = 177120 \cdot \frac{625}{4 \cdot 369}.
$$
Заметим, что $ 177120 / 4 = 44280 $, а $ 44280 / 369 = 120 $. Тогда:
$$
X = 120 \cdot 625 = 75000.
$$

Результат:

Ежегодный платёж $ X = 75000 $ рублей.

Шаг 6 ▼

Общая сумма выплат за 4 года:
$$
4X = 4 \cdot 75000 = 300000.
$$