Задание A2255B

Обозначим числа по возрастанию: $a_1 < a_2 < \ldots < a_{10}$. Из условия:
Сумма шести наименьших: $a_1 + a_2 + \ldots + a_6 = 6 \cdot 6 = 36$.
Сумма шести наибольших: $a_5 + a_6 + \ldots + a_{10} = 6 \cdot 12 = 72$.
Общая сумма всех десяти чисел: $S = 36 + 72 - (a_5 + a_6) = 108 - (a_5 + a_6)$.

а) Пусть $a_{10} = 14$. Тогда $a_9 \le 13$, $a_8 \le 12$, $a_7 \le 11$. Максимальная сумма $a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} \le 11 + 12 + 13 + 14 = 50$. Но из суммы шести наибольших: $a_5 + a_6 + (a_7 + a_8 + a_9 + a_{10}) = 72$, поэтому $a_5 + a_6 = 72 - (a_7 + a_8 + a_9 + a_{10}) \ge 72 - 50 = 22$. Тогда $a_6 \ge \frac{22}{2} = 11$ (так как $a_5 < a_6$). Но если $a_6 \ge 11$, то среди шести наименьших есть число не меньше 11, а остальные пять не меньше 1,2,3,4,5. Их сумма $\ge 1+2+3+4+5+11 = 26$, что меньше требуемых 36. Противоречие.

б) Если среднее равно 8.4, то $S = 84$. Тогда $108 - (a_5 + a_6) = 84 \Rightarrow a_5 + a_6 = 24$. Так как числа натуральные и различные, минимальные возможные значения: $a_1=1$, $a_2=2$, $a_3=3$, $a_4=4$. Тогда их сумма $=10$, и из суммы шести наименьших: $a_5 + a_6 = 36 - 10 = 26$, что больше 24. Противоречие.

в) Среднее равно $\frac{S}{10} = \frac{108 - (a_5 + a_6)}{10}$. Чтобы минимизировать его, нужно максимизировать $a_5 + a_6$ при натуральных ограничениях.
Из суммы шести наименьших: $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 36 - (a_5 + a_6)$. Эти четыре числа различны и меньше $a_5$. Их максимально возможная сумма: $(a_5-1) + (a_5-2) + (a_5-3) + (a_5-4) = 4a_5 - 10$. Поэтому $36 - (a_5 + a_6) \le 4a_5 - 10 \Rightarrow 46 \le 5a_5 + a_6$ (1).
Из суммы шести наибольших: $a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} = 72 - (a_5 + a_6)$. Эти четыре числа различны и больше $a_6$. Их минимально возможная сумма: $(a_6+1) + (a_6+2) + (a_6+3) + (a_6+4) = 4a_6 + 10$. Поэтому $72 - (a_5 + a_6) \ge 4a_6 + 10 \Rightarrow 62 \ge a_5 + 5a_6$ (2).
Также $a_5 < a_6$.

Подбором находим максимальную сумму $a_5 + a_6$. При $a_5 = 9$ из (2): $9 + 5a_6 \le 62 \Rightarrow 5a_6 \le 53 \Rightarrow a_6 \le 10.6$, поэтому максимальное $a_6 = 10$ (так как $a_6 > a_5$). Проверим (1): $5 \cdot 9 + 10 = 55 \ge 46$ – верно. Тогда $a_5 + a_6 = 19$, $S = 108 - 19 = 89$, среднее $= 8.9$. При $a_5 = 10$ из (2): $10 + 5a_6 \le 62 \Rightarrow a_6 \le 10.4$, но $a_6 > a_5$ невозможно. При $a_5 = 8$ можно получить $a_6 = 11$ (проверяем (2): $8 + 55 = 63 > 62$ – не подходит). Значит, максимальная сумма $a_5 + a_6 = 19$ достижима.