Шаг 1
Раскрываем $\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ по формуле суммы.
Результат:
$\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) = \sin x \cdot \frac{1}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
Шаг 2
Умножаем на 2 и подставляем в исходное уравнение.
Результат:
$2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) = \sin x + \sqrt{3}\cos x$, поэтому уравнение принимает вид: $\sin x + \sqrt{3}\cos x - \sqrt{3}\cos 2x = \sin x + \sqrt{3}$
Шаг 3
Сокращаем $\sin x$ с обеих сторон и делим на $\sqrt{3}$.
Результат:
$\cos x - \cos 2x = 1$
Шаг 4
Используем формулу $\cos 2x = 2\cos^{2} x - 1$.
Результат:
$\cos x - (2\cos^{2} x - 1) = 1 \Rightarrow \cos x - 2\cos^{2} x + 1 = 1$
Шаг 5
Упрощаем и выносим общий множитель.
Результат:
$\cos x - 2\cos^{2} x = 0 \Rightarrow \cos x(1 - 2\cos x) = 0$
Шаг 6
Решаем уравнение.
Результат:
$\cos x = 0$ или $\cos x = \frac{1}{2}$
Шаг 7
Записываем общие решения.
Результат:
При $\cos x = 0$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. При $\cos x = \frac{1}{2}$: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Шаг 8
Находим корни на отрезке $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$.
Результат:
Из $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ подходят $k = -2 \Rightarrow x = -\frac{3\pi}{2}$ и $k = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2}$. Из $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ подходит $n = -1$ со знаком минус: $x = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3}$.
Окончательный ответ:
а) $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ или $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$. б) Корни на отрезке: $-\frac{5\pi}{3}$, $-\frac{3\pi}{2}$, $-\frac{\pi}{2}$.