Шаг 1
Так как окружность высекает на всех сторонах трапеции равные хорды, то расстояния от её центра $O$ до всех сторон равны. Обозначим это расстояние $d$.
Шаг 2
Точка $O$ равноудалена от сторон углов трапеции, значит, она лежит на биссектрисе каждого угла. Следовательно, все биссектрисы пересекаются в точке $O$, что доказывает пункт а).
Шаг 3
Рассмотрим сторону $AB$. Окружность пересекает её в точках $K$ и $L$, причём $AK = 15$, $KL = 6$, $LB = 5$. Хорда $KL$ имеет длину 6, поэтому её середина $M$ находится на расстоянии $3$ от $K$ и $L$.
Шаг 4
Тогда расстояние от $A$ до проекции $M$ на $AB$ равно $AM = AK + 3 = 18$, а от $B$ до этой проекции $BM = LB + 3 = 8$.
Шаг 5
Рассмотрим прямоугольные треугольники $AOM$ и $BOM$, где $OM = d$ — перпендикуляр к стороне $AB$. В них $\tan\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{d}{18}$ и $\tan\left(\frac{B}{2}\right) = \frac{d}{8}$.
Шаг 6
В трапеции углы при боковой стороне в сумме дают $180^\circ$, поэтому $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} = 90^\circ$. Следовательно, $\tan\left(\frac{A}{2}\right) \cdot \tan\left(\frac{B}{2}\right) = 1$.
Шаг 7
Подставляя выражения для тангенсов, получаем $\frac{d}{18} \cdot \frac{d}{8} = 1$, откуда $d^2 = 144$ и $d = 12$.
Шаг 8
Высота трапеции равна расстоянию между её параллельными основаниями, которое составляет $h = 2d = 24$.
Окончательный ответ:
24