Шаг 1
Упростим неравенство. Исходное: $8^{x+1} - 40 \cdot 2 \cdot 64^x - 32 \leq 1$. Получаем $8^{x+1} - 80 \cdot 64^x - 32 \leq 1$, переносим всё влево: $8^{x+1} - 80 \cdot 64^x - 33 \leq 0$.
Шаг 2
Перейдём к основанию 2. $8 = 2^3$, $64 = 2^6$. Тогда $8^{x+1} = 2^{3(x+1)} = 2^{3x+3}$, $64^x = 2^{6x}$. Неравенство: $2^{3x+3} - 80 \cdot 2^{6x} - 33 \leq 0$.
Шаг 3
Замена $t = 2^{3x} > 0$. Заметим: $2^{3x+3} = 2^{3x} \cdot 2^3 = 8t$, $2^{6x} = (2^{3x})^2 = t^2$. Подставляем: $8t - 80t^2 - 33 \leq 0$. Умножаем на $-1$: $80t^2 - 8t + 33 \geq 0$.
Шаг 4
Решаем квадратное неравенство $80t^2 - 8t + 33 \geq 0$. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 80 \cdot 33 = 64 - 10560 = -10496 < 0$. Коэффициент при $t^2$ положителен, значит трёхчлен всегда положителен для любого $t \in \mathbb{R}$.
Шаг 5
Возвращаемся к $t = 2^{3x} > 0$. Поскольку неравенство верно при всех $t$, а $2^{3x} > 0$ для любого $x$, то исходное неравенство выполняется при всех действительных $x$.
Окончательный ответ:
$(-\infty, +\infty)$