Шаг 1
Прибыль за год: $P(x) = px - \left(0.5x^2 + 2x + 6\right) = -0.5x^2 + (p-2)x - 6$, где $x$ — количество в тыс. шт., $p$ — цена в тыс. руб. за шт.
Результат:
$P(x) = -0.5x^2 + (p-2)x - 6$.
Шаг 2
Это квадратичная функция с $a=-0.5<0$, максимум в вершине: $x_{\text{опт}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{p-2}{2 \cdot (-0.5)} = p-2$ (тыс. шт.).
Результат:
оптимальный выпуск $x = p-2$.
Шаг 3
Максимальная годовая прибыль: $P_{\max} = P(p-2)$.
$P_{\max} = -0.5(p-2)^2 + (p-2)(p-2) - 6 = 0.5(p-2)^2 - 6 = 0.5p^2 - 2p + 2 - 6 = 0.5p^2 - 2p - 4$ млн руб.
$P_{\max} = -0.5(p-2)^2 + (p-2)(p-2) - 6 = 0.5(p-2)^2 - 6 = 0.5p^2 - 2p + 2 - 6 = 0.5p^2 - 2p - 4$ млн руб.
Результат:
$P_{\max} = 0.5p^2 - 2p - 4$.
Шаг 4
Условие окупаемости за 3 года: $3P_{\max} \ge 78$.
$3\left(0.5p^2 - 2p - 4\right) \ge 78 \Rightarrow 1.5p^2 - 6p - 12 \ge 78 \Rightarrow 1.5p^2 - 6p - 90 \ge 0$.
Делим на $1.5$: $p^2 - 4p - 60 \ge 0$.
$3\left(0.5p^2 - 2p - 4\right) \ge 78 \Rightarrow 1.5p^2 - 6p - 12 \ge 78 \Rightarrow 1.5p^2 - 6p - 90 \ge 0$.
Делим на $1.5$: $p^2 - 4p - 60 \ge 0$.
Результат:
$p^2 - 4p - 60 \ge 0$.
Шаг 5
Решаем неравенство. Корни $p^2 - 4p - 60 = 0$: $D = 16 + 240 = 256$, $\sqrt{D}=16$, $p = \frac{4 \pm 16}{2}$, $p_1 = -6$, $p_2 = 10$. Так как $p>0$, то $p \ge 10$.
Результат:
$p \ge 10$.
Шаг 6
При $p \ge 10$ выпуск $x = p-2 > 0$, условие выполняется.
Окончательный ответ:
10