Шаг 1
Возведём обе части уравнения в квадрат, учитывая условие неотрицательности правой части: $x^2 + 2x - 3a \ge 0$.
Шаг 2
После возведения в квадрат получаем $x^4 - 4x^2 + 9a^2 = (x^2 + 2x - 3a)^2$.
Шаг 3
Преобразуем уравнение: $x^4 - 4x^2 + 9a^2 = x^4 + 4x^3 + 4x^2 - 6a x^2 - 12a x + 9a^2$. После упрощения приходим к $2x(2x^2 + (4 - 3a)x - 6a) = 0$.
Шаг 4
Корни этого уравнения: $x = 0$, $x = -2$, $x = \frac{3a}{2}$.
Шаг 5
Проверим условие $x^2 + 2x - 3a \ge 0$ для найденных корней.
Для $x = 0$: $-3a \ge 0 \Rightarrow a \le 0$.
Для $x = -2$: $4 - 4 - 3a \ge 0 \Rightarrow -3a \ge 0 \Rightarrow a \le 0$.
Для $x = \frac{3a}{2}$ условие проверяется отдельно.
Для $x = 0$: $-3a \ge 0 \Rightarrow a \le 0$.
Для $x = -2$: $4 - 4 - 3a \ge 0 \Rightarrow -3a \ge 0 \Rightarrow a \le 0$.
Для $x = \frac{3a}{2}$ условие проверяется отдельно.
Шаг 6
Чтобы уравнение имело ровно три различных решения, корень $x = \frac{3a}{2}$ должен отличаться от $0$ и $-2$, а также удовлетворять условию неотрицательности. Отсюда:
$\frac{3a}{2} \neq 0 \Rightarrow a \neq 0$,
$\frac{3a}{2} \neq -2 \Rightarrow a \neq -\frac{4}{3}$.
$\frac{3a}{2} \neq 0 \Rightarrow a \neq 0$,
$\frac{3a}{2} \neq -2 \Rightarrow a \neq -\frac{4}{3}$.
Шаг 7
Из условия $a \le 0$ и исключений $a \neq 0$, $a \neq -\frac{4}{3}$ получаем $a < 0$, $a \neq -\frac{4}{3}$.
Шаг 8
Остаётся убедиться, что при таких $a$ корень $x = \frac{3a}{2}$ действительно удовлетворяет условию $x^2 + 2x - 3a \ge 0$. Подставим $x = \frac{3a}{2}$:
$\left( \frac{3a}{2} \right)^2 + 2 \cdot \frac{3a}{2} - 3a = \frac{9a^2}{4} + 3a - 3a = \frac{9a^2}{4} \ge 0$ для всех $a$, что выполняется всегда.
$\left( \frac{3a}{2} \right)^2 + 2 \cdot \frac{3a}{2} - 3a = \frac{9a^2}{4} + 3a - 3a = \frac{9a^2}{4} \ge 0$ для всех $a$, что выполняется всегда.
Окончательный ответ:
$\{a \in \mathbb{R}: a < 0,\; a \neq -\frac{4}{3}\}$