Шаг 1
Введём координаты.
Пусть $A = (0,0)$, $B = (s,0)$.
Так как $AB = BC = s$, пусть $\angle BAD = \alpha$. Тогда
$D = (s\cos\alpha, s\sin\alpha)$,
$C = B + D = (s + s\cos\alpha, s\sin\alpha)$.
Пусть $A = (0,0)$, $B = (s,0)$.
Так как $AB = BC = s$, пусть $\angle BAD = \alpha$. Тогда
$D = (s\cos\alpha, s\sin\alpha)$,
$C = B + D = (s + s\cos\alpha, s\sin\alpha)$.
Шаг 2
Найдём точки $M$ и $N$.
По условию $AM:MC = 1:2$, поэтому $M = A + \frac{1}{3}(C - A) = \left( \frac{s(1+\cos\alpha)}{3}, \frac{s\sin\alpha}{3} \right)$.
По условию $BN:ND = 1:3$, поэтому $N = B + \frac{1}{4}(D - B) = \left( s + \frac{s(\cos\alpha - 1)}{4}, \frac{s\sin\alpha}{4} \right)$.
Прямая $MN$ перпендикулярна $BC$. Вектор $\overrightarrow{BC} = (s\cos\alpha, s\sin\alpha)$.
Условие перпендикулярности $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$ даёт уравнение:
$\left( \frac{s(\cos\alpha - 1)}{12} \right)(s\cos\alpha) + \left( -\frac{s\sin\alpha}{12} \right)(s\sin\alpha) = 0$.
Упрощаем: $\cos\alpha - \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 0 \Rightarrow \cos\alpha - 1 = 0 \Rightarrow \cos\alpha = 1$.
Это невозможно для ромба ($\alpha \neq 0$). Значит, в вычислениях ошибка. Пересчитаем скалярное произведение аккуратно.
$\overrightarrow{MN} = N - M = \left( s + \frac{s(\cos\alpha - 1)}{4} - \frac{s(1+\cos\alpha)}{3}, \frac{s\sin\alpha}{4} - \frac{s\sin\alpha}{3} \right)$.
Первая координата: $s\left(1 + \frac{\cos\alpha - 1}{4} - \frac{1+\cos\alpha}{3}\right) = s\left(1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \cos\alpha\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{3}\right)\right) = s\left(\frac{5}{12} - \frac{\cos\alpha}{12}\right) = \frac{s(5 - \cos\alpha)}{12}$.
Вторая координата: $s\sin\alpha\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{3}\right) = -\frac{s\sin\alpha}{12}$.
Итак, $\overrightarrow{MN} = \left( \frac{s(5 - \cos\alpha)}{12}, -\frac{s\sin\alpha}{12} \right)$.
$\overrightarrow{BC} = (s\cos\alpha, s\sin\alpha)$.
Условие перпендикулярности: $\frac{s(5 - \cos\alpha)}{12} \cdot s\cos\alpha + \left(-\frac{s\sin\alpha}{12}\right) \cdot s\sin\alpha = 0$.
Делим на $\frac{s^2}{12}$: $(5 - \cos\alpha)\cos\alpha - \sin^2\alpha = 0 \Rightarrow 5\cos\alpha - \cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha) = 0 \Rightarrow 5\cos\alpha - 1 = 0 \Rightarrow \cos\alpha = \frac{1}{5}$.
Тогда $\sin\alpha = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$.
Теперь координаты:
$M = \left( \frac{s\left(1 + \frac{1}{5}\right)}{3}, \frac{s \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5}}{3} \right) = \left( \frac{2s}{5}, \frac{2s\sqrt{6}}{15} \right)$,
$N = \left( s + \frac{s\left(\frac{1}{5} - 1\right)}{4}, \frac{s \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5}}{4} \right) = \left( s - \frac{s}{5}, \frac{s\sqrt{6}}{10} \right) = \left( \frac{4s}{5}, \frac{s\sqrt{6}}{10} \right)$.
По условию $AM:MC = 1:2$, поэтому $M = A + \frac{1}{3}(C - A) = \left( \frac{s(1+\cos\alpha)}{3}, \frac{s\sin\alpha}{3} \right)$.
По условию $BN:ND = 1:3$, поэтому $N = B + \frac{1}{4}(D - B) = \left( s + \frac{s(\cos\alpha - 1)}{4}, \frac{s\sin\alpha}{4} \right)$.
Прямая $MN$ перпендикулярна $BC$. Вектор $\overrightarrow{BC} = (s\cos\alpha, s\sin\alpha)$.
Условие перпендикулярности $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$ даёт уравнение:
$\left( \frac{s(\cos\alpha - 1)}{12} \right)(s\cos\alpha) + \left( -\frac{s\sin\alpha}{12} \right)(s\sin\alpha) = 0$.
Упрощаем: $\cos\alpha - \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 0 \Rightarrow \cos\alpha - 1 = 0 \Rightarrow \cos\alpha = 1$.
Это невозможно для ромба ($\alpha \neq 0$). Значит, в вычислениях ошибка. Пересчитаем скалярное произведение аккуратно.
$\overrightarrow{MN} = N - M = \left( s + \frac{s(\cos\alpha - 1)}{4} - \frac{s(1+\cos\alpha)}{3}, \frac{s\sin\alpha}{4} - \frac{s\sin\alpha}{3} \right)$.
Первая координата: $s\left(1 + \frac{\cos\alpha - 1}{4} - \frac{1+\cos\alpha}{3}\right) = s\left(1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \cos\alpha\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{3}\right)\right) = s\left(\frac{5}{12} - \frac{\cos\alpha}{12}\right) = \frac{s(5 - \cos\alpha)}{12}$.
Вторая координата: $s\sin\alpha\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{3}\right) = -\frac{s\sin\alpha}{12}$.
Итак, $\overrightarrow{MN} = \left( \frac{s(5 - \cos\alpha)}{12}, -\frac{s\sin\alpha}{12} \right)$.
$\overrightarrow{BC} = (s\cos\alpha, s\sin\alpha)$.
Условие перпендикулярности: $\frac{s(5 - \cos\alpha)}{12} \cdot s\cos\alpha + \left(-\frac{s\sin\alpha}{12}\right) \cdot s\sin\alpha = 0$.
Делим на $\frac{s^2}{12}$: $(5 - \cos\alpha)\cos\alpha - \sin^2\alpha = 0 \Rightarrow 5\cos\alpha - \cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha) = 0 \Rightarrow 5\cos\alpha - 1 = 0 \Rightarrow \cos\alpha = \frac{1}{5}$.
Тогда $\sin\alpha = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$.
Теперь координаты:
$M = \left( \frac{s\left(1 + \frac{1}{5}\right)}{3}, \frac{s \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5}}{3} \right) = \left( \frac{2s}{5}, \frac{2s\sqrt{6}}{15} \right)$,
$N = \left( s + \frac{s\left(\frac{1}{5} - 1\right)}{4}, \frac{s \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5}}{4} \right) = \left( s - \frac{s}{5}, \frac{s\sqrt{6}}{10} \right) = \left( \frac{4s}{5}, \frac{s\sqrt{6}}{10} \right)$.
Шаг 3
Найдём точку пересечения $P$ прямой $MN$ со стороной $BC$.
Параметризуем $BC$: $P = B + t \cdot \overrightarrow{BC} = (s, 0) + t(s\cos\alpha, s\sin\alpha) = \left( s + \frac{st}{5}, \frac{2s\sqrt{6}t}{5} \right)$, $0 \le t \le 1$.
Прямая $MN$ проходит через $M$ и $N$. Её параметрическое уравнение: $M + u \cdot \overrightarrow{MN}$, $u \in \mathbb{R}$.
Приравниваем координаты $P$ и $M + u\overrightarrow{MN}$.
Из $y$-координат: $\frac{2s\sqrt{6}t}{5} = \frac{2s\sqrt{6}}{15} + u\left(-\frac{s\sqrt{6}}{12}\right)$.
Из $x$-координат: $s + \frac{st}{5} = \frac{2s}{5} + u \cdot \frac{s(5 - \frac{1}{5})}{12} = \frac{2s}{5} + u \cdot \frac{s \cdot \frac{24}{5}}{12} = \frac{2s}{5} + u \cdot \frac{2s}{5}$.
Упрощаем $x$-уравнение: $1 + \frac{t}{5} = \frac{2}{5} + \frac{2u}{5} \Rightarrow 5 + t = 2 + 2u \Rightarrow t = 2u - 3$.
Подставляем в $y$-уравнение (предварительно деля на $s\sqrt{6}$): $\frac{2t}{5} = \frac{2}{15} - \frac{u}{12}$.
Умножаем на 60: $24t = 8 - 5u$. Подставляем $t = 2u - 3$: $24(2u - 3) = 8 - 5u \Rightarrow 48u - 72 = 8 - 5u \Rightarrow 53u = 80 \Rightarrow u = \frac{80}{53}$.
Тогда $t = 2 \cdot \frac{80}{53} - 3 = \frac{160}{53} - \frac{159}{53} = \frac{1}{53}$.
Получили $t = \frac{1}{53}$? Это подозрительно мало. Проверим вычисления для $u$ из $x$-уравнения.
Из $x$: $s + \frac{st}{5} = \frac{2s}{5} + \frac{2su}{5}$. Делим на $s$: $1 + \frac{t}{5} = \frac{2}{5} + \frac{2u}{5}$. Умножаем на 5: $5 + t = 2 + 2u \Rightarrow t = 2u - 3$.
Из $y$: $\frac{2s\sqrt{6}t}{5} = \frac{2s\sqrt{6}}{15} - \frac{s\sqrt{6}u}{12}$. Делим на $s\sqrt{6}$: $\frac{2t}{5} = \frac{2}{15} - \frac{u}{12}$.
Умножаем на 60: $24t = 8 - 5u$. Подставляем $t = 2u - 3$: $24(2u - 3) = 8 - 5u \Rightarrow 48u - 72 = 8 - 5u \Rightarrow 53u = 80 \Rightarrow u = \frac{80}{53}$, $t = \frac{160}{53} - 3 = \frac{160 - 159}{53} = \frac{1}{53}$.
Это даёт $BP:PC = t:(1-t) = \frac{1}{53} : \frac{52}{53} = 1:52$, а не 1:4. Значит, где-то ошибка в $\overrightarrow{MN}$ или в параметризации.
Пересчитаем $\overrightarrow{MN}$ с $\cos\alpha = \frac{1}{5}$, $\sin\alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}$:
$M = \left( \frac{2s}{5}, \frac{2s\sqrt{6}}{15} \right)$, $N = \left( \frac{4s}{5}, \frac{s\sqrt{6}}{10} \right)$.
Тогда $\overrightarrow{MN} = \left( \frac{2s}{5}, -\frac{s\sqrt{6}}{30} \right)$? Проверим: $\frac{4s}{5} - \frac{2s}{5} = \frac{2s}{5}$; $\frac{s\sqrt{6}}{10} - \frac{2s\sqrt{6}}{15} = \frac{3s\sqrt{6}}{30} - \frac{4s\sqrt{6}}{30} = -\frac{s\sqrt{6}}{30}$. Верно.
Теперь параметризуем $BC$: $B = (s,0)$, $\overrightarrow{BC} = (s\cos\alpha, s\sin\alpha) = \left( \frac{s}{5}, \frac{2s\sqrt{6}}{5} \right)$.
Точка $P$ на $BC$: $P = \left( s + \frac{st}{5}, \frac{2s\sqrt{6}t}{5} \right)$.
Прямая $MN$: $M + u\overrightarrow{MN} = \left( \frac{2s}{5} + \frac{2su}{5}, \frac{2s\sqrt{6}}{15} - \frac{s\sqrt{6}u}{30} \right)$.
Приравниваем:
$x$: $s + \frac{st}{5} = \frac{2s}{5} + \frac{2su}{5} \Rightarrow 1 + \frac{t}{5} = \frac{2}{5} + \frac{2u}{5} \Rightarrow 5 + t = 2 + 2u \Rightarrow t = 2u - 3$.
$y$: $\frac{2s\sqrt{6}t}{5} = \frac{2s\sqrt{6}}{15} - \frac{s\sqrt{6}u}{30}$. Делим на $s\sqrt{6}$: $\frac{2t}{5} = \frac{2}{15} - \frac{u}{30}$.
Умножаем на 30: $12t = 4 - u$. Подставляем $t = 2u - 3$: $12(2u - 3) = 4 - u \Rightarrow 24u - 36 = 4 - u \Rightarrow 25u = 40 \Rightarrow u = \frac{8}{5}$.
Тогда $t = 2 \cdot \frac{8}{5} - 3 = \frac{16}{5} - \frac{15}{5} = \frac{1}{5}$.
Теперь $t = \frac{1}{5}$, значит, $BP:PC = t:(1-t) = \frac{1}{5} : \frac{4}{5} = 1:4$. Доказано.
Параметризуем $BC$: $P = B + t \cdot \overrightarrow{BC} = (s, 0) + t(s\cos\alpha, s\sin\alpha) = \left( s + \frac{st}{5}, \frac{2s\sqrt{6}t}{5} \right)$, $0 \le t \le 1$.
Прямая $MN$ проходит через $M$ и $N$. Её параметрическое уравнение: $M + u \cdot \overrightarrow{MN}$, $u \in \mathbb{R}$.
Приравниваем координаты $P$ и $M + u\overrightarrow{MN}$.
Из $y$-координат: $\frac{2s\sqrt{6}t}{5} = \frac{2s\sqrt{6}}{15} + u\left(-\frac{s\sqrt{6}}{12}\right)$.
Из $x$-координат: $s + \frac{st}{5} = \frac{2s}{5} + u \cdot \frac{s(5 - \frac{1}{5})}{12} = \frac{2s}{5} + u \cdot \frac{s \cdot \frac{24}{5}}{12} = \frac{2s}{5} + u \cdot \frac{2s}{5}$.
Упрощаем $x$-уравнение: $1 + \frac{t}{5} = \frac{2}{5} + \frac{2u}{5} \Rightarrow 5 + t = 2 + 2u \Rightarrow t = 2u - 3$.
Подставляем в $y$-уравнение (предварительно деля на $s\sqrt{6}$): $\frac{2t}{5} = \frac{2}{15} - \frac{u}{12}$.
Умножаем на 60: $24t = 8 - 5u$. Подставляем $t = 2u - 3$: $24(2u - 3) = 8 - 5u \Rightarrow 48u - 72 = 8 - 5u \Rightarrow 53u = 80 \Rightarrow u = \frac{80}{53}$.
Тогда $t = 2 \cdot \frac{80}{53} - 3 = \frac{160}{53} - \frac{159}{53} = \frac{1}{53}$.
Получили $t = \frac{1}{53}$? Это подозрительно мало. Проверим вычисления для $u$ из $x$-уравнения.
Из $x$: $s + \frac{st}{5} = \frac{2s}{5} + \frac{2su}{5}$. Делим на $s$: $1 + \frac{t}{5} = \frac{2}{5} + \frac{2u}{5}$. Умножаем на 5: $5 + t = 2 + 2u \Rightarrow t = 2u - 3$.
Из $y$: $\frac{2s\sqrt{6}t}{5} = \frac{2s\sqrt{6}}{15} - \frac{s\sqrt{6}u}{12}$. Делим на $s\sqrt{6}$: $\frac{2t}{5} = \frac{2}{15} - \frac{u}{12}$.
Умножаем на 60: $24t = 8 - 5u$. Подставляем $t = 2u - 3$: $24(2u - 3) = 8 - 5u \Rightarrow 48u - 72 = 8 - 5u \Rightarrow 53u = 80 \Rightarrow u = \frac{80}{53}$, $t = \frac{160}{53} - 3 = \frac{160 - 159}{53} = \frac{1}{53}$.
Это даёт $BP:PC = t:(1-t) = \frac{1}{53} : \frac{52}{53} = 1:52$, а не 1:4. Значит, где-то ошибка в $\overrightarrow{MN}$ или в параметризации.
Пересчитаем $\overrightarrow{MN}$ с $\cos\alpha = \frac{1}{5}$, $\sin\alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}$:
$M = \left( \frac{2s}{5}, \frac{2s\sqrt{6}}{15} \right)$, $N = \left( \frac{4s}{5}, \frac{s\sqrt{6}}{10} \right)$.
Тогда $\overrightarrow{MN} = \left( \frac{2s}{5}, -\frac{s\sqrt{6}}{30} \right)$? Проверим: $\frac{4s}{5} - \frac{2s}{5} = \frac{2s}{5}$; $\frac{s\sqrt{6}}{10} - \frac{2s\sqrt{6}}{15} = \frac{3s\sqrt{6}}{30} - \frac{4s\sqrt{6}}{30} = -\frac{s\sqrt{6}}{30}$. Верно.
Теперь параметризуем $BC$: $B = (s,0)$, $\overrightarrow{BC} = (s\cos\alpha, s\sin\alpha) = \left( \frac{s}{5}, \frac{2s\sqrt{6}}{5} \right)$.
Точка $P$ на $BC$: $P = \left( s + \frac{st}{5}, \frac{2s\sqrt{6}t}{5} \right)$.
Прямая $MN$: $M + u\overrightarrow{MN} = \left( \frac{2s}{5} + \frac{2su}{5}, \frac{2s\sqrt{6}}{15} - \frac{s\sqrt{6}u}{30} \right)$.
Приравниваем:
$x$: $s + \frac{st}{5} = \frac{2s}{5} + \frac{2su}{5} \Rightarrow 1 + \frac{t}{5} = \frac{2}{5} + \frac{2u}{5} \Rightarrow 5 + t = 2 + 2u \Rightarrow t = 2u - 3$.
$y$: $\frac{2s\sqrt{6}t}{5} = \frac{2s\sqrt{6}}{15} - \frac{s\sqrt{6}u}{30}$. Делим на $s\sqrt{6}$: $\frac{2t}{5} = \frac{2}{15} - \frac{u}{30}$.
Умножаем на 30: $12t = 4 - u$. Подставляем $t = 2u - 3$: $12(2u - 3) = 4 - u \Rightarrow 24u - 36 = 4 - u \Rightarrow 25u = 40 \Rightarrow u = \frac{8}{5}$.
Тогда $t = 2 \cdot \frac{8}{5} - 3 = \frac{16}{5} - \frac{15}{5} = \frac{1}{5}$.
Теперь $t = \frac{1}{5}$, значит, $BP:PC = t:(1-t) = \frac{1}{5} : \frac{4}{5} = 1:4$. Доказано.
Шаг 4
Найдём длину $MN$.
$\overrightarrow{MN} = \left( \frac{2s}{5}, -\frac{s\sqrt{6}}{30} \right)$.
$MN^2 = \left( \frac{2s}{5} \right)^2 + \left( -\frac{s\sqrt{6}}{30} \right)^2 = \frac{4s^2}{25} + \frac{6s^2}{900} = \frac{4s^2}{25} + \frac{s^2}{150} = \frac{24s^2}{150} + \frac{s^2}{150} = \frac{25s^2}{150} = \frac{s^2}{6}$.
Значит, $MN = \frac{s}{\sqrt{6}}$.
По условию $MN = \sqrt{6}$, поэтому $\frac{s}{\sqrt{6}} = \sqrt{6} \Rightarrow s = 6$.
$\overrightarrow{MN} = \left( \frac{2s}{5}, -\frac{s\sqrt{6}}{30} \right)$.
$MN^2 = \left( \frac{2s}{5} \right)^2 + \left( -\frac{s\sqrt{6}}{30} \right)^2 = \frac{4s^2}{25} + \frac{6s^2}{900} = \frac{4s^2}{25} + \frac{s^2}{150} = \frac{24s^2}{150} + \frac{s^2}{150} = \frac{25s^2}{150} = \frac{s^2}{6}$.
Значит, $MN = \frac{s}{\sqrt{6}}$.
По условию $MN = \sqrt{6}$, поэтому $\frac{s}{\sqrt{6}} = \sqrt{6} \Rightarrow s = 6$.
Результат:
Отношение $1:4$ доказано, сторона ромба $s = 6$.
Окончательный ответ:
6