Шаг 1
Введем систему координат. Поместим начало в точку $A$. Ось $x$: $A \rightarrow B$, $AB = \sqrt{2}$. Ось $y$: $A \rightarrow D$, $AD = 6$. Ось $z$: $A \rightarrow A_1$, $AA_1 = 10$. Тогда координаты: $A(0,0,0)$, $B(\sqrt{2},0,0)$, $D(0,6,0)$, $A_1(0,0,10)$, $B_1(\sqrt{2},0,10)$, $C_1(\sqrt{2},6,10)$, $D_1(0,6,10)$.
Шаг 2
Найдем координаты точек $E$, $F$, $T$.
Отношение $A_1E:EA = 3:2$, значит $A_1E=6$, $EA=4$, поэтому $z_E = 10-6=4$. Получаем $E(0,0,4)$.
Отношение $B_1F:FB = 3:7$, значит $B_1F=3$, $FB=7$, поэтому $z_F = 10-3=7$. Получаем $F(\sqrt{2},0,7)$.
$T$ — середина $B_1C_1$, поэтому $T(\sqrt{2},3,10)$.
Отношение $A_1E:EA = 3:2$, значит $A_1E=6$, $EA=4$, поэтому $z_E = 10-6=4$. Получаем $E(0,0,4)$.
Отношение $B_1F:FB = 3:7$, значит $B_1F=3$, $FB=7$, поэтому $z_F = 10-3=7$. Получаем $F(\sqrt{2},0,7)$.
$T$ — середина $B_1C_1$, поэтому $T(\sqrt{2},3,10)$.
Шаг 3
Докажем, что $D_1$ лежит в плоскости $EFT$. Проверим компланарность векторов $\overrightarrow{EF}$, $\overrightarrow{ET}$, $\overrightarrow{ED_1}$.
$\overrightarrow{EF}=(\sqrt{2},0,3)$, $\overrightarrow{ET}=(\sqrt{2},3,6)$, $\overrightarrow{ED_1}=(0,6,6)$.
Определитель из этих векторов:
$\Delta = \left| $\sqrt{2} , 0 , 3$; $\sqrt{2} , 3 , 6$; $0 , 6 , 6$ \right| = \sqrt{2}(3\cdot6 - 6\cdot6) - 0 + 3(\sqrt{2}\cdot6 - 3\cdot0) = \sqrt{2}(-18) + 18\sqrt{2} = 0$.
Так как $\Delta = 0$, точки $E$, $F$, $T$, $D_1$ компланарны, значит плоскость $EFT$ проходит через $D_1$. Доказано.
$\overrightarrow{EF}=(\sqrt{2},0,3)$, $\overrightarrow{ET}=(\sqrt{2},3,6)$, $\overrightarrow{ED_1}=(0,6,6)$.
Определитель из этих векторов:
$\Delta = \left| $\sqrt{2} , 0 , 3$; $\sqrt{2} , 3 , 6$; $0 , 6 , 6$ \right| = \sqrt{2}(3\cdot6 - 6\cdot6) - 0 + 3(\sqrt{2}\cdot6 - 3\cdot0) = \sqrt{2}(-18) + 18\sqrt{2} = 0$.
Так как $\Delta = 0$, точки $E$, $F$, $T$, $D_1$ компланарны, значит плоскость $EFT$ проходит через $D_1$. Доказано.
Шаг 4
Найдем уравнение плоскости $EFT$. Нормальный вектор $\vec{n} = \overrightarrow{EF} \times \overrightarrow{ET}$.
$\vec{n} = (\sqrt{2},0,3) \times (\sqrt{2},3,6) = \left( 0\cdot6 - 3\cdot3,\ -\left( \sqrt{2}\cdot6 - 3\cdot\sqrt{2} \right),\ \sqrt{2}\cdot3 - 0\cdot\sqrt{2} \right) = \left( -9,\ -3\sqrt{2},\ 3\sqrt{2} \right)$.
Уравнение через точку $E(0,0,4)$: $-9(x-0) - 3\sqrt{2}(y-0) + 3\sqrt{2}(z-4)=0$.
Упрощаем: $-9x - 3\sqrt{2}y + 3\sqrt{2}z - 12\sqrt{2}=0$ или $3x + \sqrt{2}y - \sqrt{2}z + 4\sqrt{2}=0$.
$\vec{n} = (\sqrt{2},0,3) \times (\sqrt{2},3,6) = \left( 0\cdot6 - 3\cdot3,\ -\left( \sqrt{2}\cdot6 - 3\cdot\sqrt{2} \right),\ \sqrt{2}\cdot3 - 0\cdot\sqrt{2} \right) = \left( -9,\ -3\sqrt{2},\ 3\sqrt{2} \right)$.
Уравнение через точку $E(0,0,4)$: $-9(x-0) - 3\sqrt{2}(y-0) + 3\sqrt{2}(z-4)=0$.
Упрощаем: $-9x - 3\sqrt{2}y + 3\sqrt{2}z - 12\sqrt{2}=0$ или $3x + \sqrt{2}y - \sqrt{2}z + 4\sqrt{2}=0$.
Шаг 5
Построим сечение. Проверяя пересечение с ребрами, находим, что плоскость пересекает:
ребро $AA_1$ в точке $E$,
ребро $BB_1$ в точке $F$,
ребро $B_1C_1$ в точке $T$,
ребро $A_1D_1$ в точке $D_1$.
Других точек пересечения внутри ребер нет.
Сечение — четырехугольник $EFTD_1$.
ребро $AA_1$ в точке $E$,
ребро $BB_1$ в точке $F$,
ребро $B_1C_1$ в точке $T$,
ребро $A_1D_1$ в точке $D_1$.
Других точек пересечения внутри ребер нет.
Сечение — четырехугольник $EFTD_1$.
Шаг 6
Вычислим площадь сечения. Разобьем $EFTD_1$ на два треугольника: $EFD_1$ и $FTD_1$.
Для $EFD_1$: векторы $\overrightarrow{EF}=(\sqrt{2},0,3)$, $\overrightarrow{ED_1}=(0,6,6)$.
Векторное произведение: $\overrightarrow{EF} \times \overrightarrow{ED_1} = \left( 0\cdot6 - 3\cdot6,\ -\left( \sqrt{2}\cdot6 - 3\cdot0 \right),\ \sqrt{2}\cdot6 - 0\cdot0 \right) = \left( -18,\ -6\sqrt{2},\ 6\sqrt{2} \right)$.
Модуль: $\sqrt{(-18)^2 + (-6\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2} = \sqrt{324+72+72} = \sqrt{468} = 6\sqrt{13}$.
Площадь: $S_{EFD_1} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{13} = 3\sqrt{13}$.
Для $FTD_1$: векторы $\overrightarrow{FD_1}=(-\sqrt{2},6,3)$, $\overrightarrow{FT}=(0,3,3)$.
Векторное произведение: $\overrightarrow{FD_1} \times \overrightarrow{FT} = \left( 6\cdot3 - 3\cdot3,\ -\left( (-\sqrt{2})\cdot3 - 3\cdot0 \right),\ (-\sqrt{2})\cdot3 - 6\cdot0 \right) = \left( 9,\ 3\sqrt{2},\ -3\sqrt{2} \right)$.
Модуль: $\sqrt{9^2 + (3\sqrt{2})^2 + (-3\sqrt{2})^2} = \sqrt{81+18+18} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}$.
Площадь: $S_{FTD_1} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{13} = \frac{3\sqrt{13}}{2}$.
Общая площадь: $S = S_{EFD_1} + S_{FTD_1} = 3\sqrt{13} + \frac{3\sqrt{13}}{2} = \frac{9\sqrt{13}}{2} \approx 16.22$.
Для $EFD_1$: векторы $\overrightarrow{EF}=(\sqrt{2},0,3)$, $\overrightarrow{ED_1}=(0,6,6)$.
Векторное произведение: $\overrightarrow{EF} \times \overrightarrow{ED_1} = \left( 0\cdot6 - 3\cdot6,\ -\left( \sqrt{2}\cdot6 - 3\cdot0 \right),\ \sqrt{2}\cdot6 - 0\cdot0 \right) = \left( -18,\ -6\sqrt{2},\ 6\sqrt{2} \right)$.
Модуль: $\sqrt{(-18)^2 + (-6\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2} = \sqrt{324+72+72} = \sqrt{468} = 6\sqrt{13}$.
Площадь: $S_{EFD_1} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{13} = 3\sqrt{13}$.
Для $FTD_1$: векторы $\overrightarrow{FD_1}=(-\sqrt{2},6,3)$, $\overrightarrow{FT}=(0,3,3)$.
Векторное произведение: $\overrightarrow{FD_1} \times \overrightarrow{FT} = \left( 6\cdot3 - 3\cdot3,\ -\left( (-\sqrt{2})\cdot3 - 3\cdot0 \right),\ (-\sqrt{2})\cdot3 - 6\cdot0 \right) = \left( 9,\ 3\sqrt{2},\ -3\sqrt{2} \right)$.
Модуль: $\sqrt{9^2 + (3\sqrt{2})^2 + (-3\sqrt{2})^2} = \sqrt{81+18+18} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}$.
Площадь: $S_{FTD_1} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{13} = \frac{3\sqrt{13}}{2}$.
Общая площадь: $S = S_{EFD_1} + S_{FTD_1} = 3\sqrt{13} + \frac{3\sqrt{13}}{2} = \frac{9\sqrt{13}}{2} \approx 16.22$.
Окончательный ответ:
$16.22$