Шаг 1
Введем прямоугольную систему координат.
Результат:
Поместим начало в точку A: A(0,0,0). Тогда B(2,0,0), D(0,6,0), A₁(0,0,6).
Шаг 2
Найдем координаты точек E, F, T.
Результат:
Точка E делит A₁A в отношении 1:2, считая от A₁: E(0,0,4). Точка F делит B₁B в отношении 1:5, считая от B₁: F(2,0,5). Точка T — середина B₁C₁: B₁(2,0,6), C₁(2,6,6), поэтому T(2,3,6).
Шаг 3
Найдем векторы, лежащие в плоскости EFT.
Результат:
$\vec{EF} = (2,0,1)$, $\vec{ET} = (2,3,2)$.
Шаг 4
Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости EFT.
Результат:
$\vec{n} = \vec{EF} \times \vec{ET} = (-3, -2, 6)$.
Шаг 5
Составим уравнение плоскости EFT.
Результат:
Используем точку E(0,0,4): $-3(x-0) - 2(y-0) + 6(z-4) = 0$, что упрощается до $-3x - 2y + 6z = 24$.
Шаг 6
Проверим принадлежность точки D₁(0,6,6) этой плоскости.
Результат:
$-3\cdot0 - 2\cdot6 + 6\cdot6 = -12 + 36 = 24$. Равенство выполняется, значит, D₁ лежит в плоскости EFT. Доказано.
Шаг 7
Найдем угол между плоскостью EFT и плоскостью AA₁B₁ (плоскостью $A_1B_1$).
Результат:
Плоскость AA₁B₁ проходит через точки A(0,0,0), A₁(0,0,6), B₁(2,0,6). Её нормаль $\vec{m}$ параллельна оси Oy: $\vec{m} = (0,1,0)$.
Шаг 8
Вычислим косинус угла между нормалями $\vec{n}$ и $\vec{m}$.
Результат:
$\cos \varphi = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{m}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{m}|} = \frac{|(-3)\cdot0 + (-2)\cdot1 + 6\cdot0|}{\sqrt{(-3)^2+(-2)^2+6^2} \cdot \sqrt{1}} = \frac{2}{7}$.
Окончательный ответ:
$\varphi = \arccos\frac{2}{7}$.