Шаг 1
Введем систему координат.
Прямоугольник $ABCD$: $A(0,0,0)$, $B(5,0,0)$. Из $AB=5$ и $BD=9$ находим $AD = \sqrt{BD^2 - AB^2} = \sqrt{81-25} = 2\sqrt{14}$. Тогда $D(0, 2\sqrt{14}, 0)$, $C(5, 2\sqrt{14}, 0)$.
Все боковые ребра равны 5, поэтому вершина $S$ проектируется в центр прямоугольника $O(2.5, \sqrt{14}, 0)$. Высота $SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{25 - (6.25 + 14)} = \sqrt{25 - 20.25} = \sqrt{4.75} = \frac{\sqrt{19}}{2}$. Положим $S(2.5, \sqrt{14}, \frac{\sqrt{19}}{2})$.
Прямоугольник $ABCD$: $A(0,0,0)$, $B(5,0,0)$. Из $AB=5$ и $BD=9$ находим $AD = \sqrt{BD^2 - AB^2} = \sqrt{81-25} = 2\sqrt{14}$. Тогда $D(0, 2\sqrt{14}, 0)$, $C(5, 2\sqrt{14}, 0)$.
Все боковые ребра равны 5, поэтому вершина $S$ проектируется в центр прямоугольника $O(2.5, \sqrt{14}, 0)$. Высота $SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{25 - (6.25 + 14)} = \sqrt{25 - 20.25} = \sqrt{4.75} = \frac{\sqrt{19}}{2}$. Положим $S(2.5, \sqrt{14}, \frac{\sqrt{19}}{2})$.
Шаг 2
Найдем координаты точек $E$ и $F$.
$E$ лежит на $BD$ и $BE=4$, $BD=9$. Вектор $\overrightarrow{BD} = (-5, 2\sqrt{14}, 0)$. Тогда $E = B + \frac{4}{9}\overrightarrow{BD} = \left(5 - \frac{20}{9}, 0 + \frac{8\sqrt{14}}{9}, 0\right) = \left(\frac{25}{9}, \frac{8\sqrt{14}}{9}, 0\right)$.
$F$ лежит на $AS$ и $SF=4$, $AS=5$, значит $AF=1$. Тогда $F = A + \frac{1}{5}\overrightarrow{AS} = \left(0 + \frac{2.5}{5}, 0 + \frac{\sqrt{14}}{5}, 0 + \frac{\sqrt{19}}{10}\right) = \left(0.5, \frac{\sqrt{14}}{5}, \frac{\sqrt{19}}{10}\right)$.
$E$ лежит на $BD$ и $BE=4$, $BD=9$. Вектор $\overrightarrow{BD} = (-5, 2\sqrt{14}, 0)$. Тогда $E = B + \frac{4}{9}\overrightarrow{BD} = \left(5 - \frac{20}{9}, 0 + \frac{8\sqrt{14}}{9}, 0\right) = \left(\frac{25}{9}, \frac{8\sqrt{14}}{9}, 0\right)$.
$F$ лежит на $AS$ и $SF=4$, $AS=5$, значит $AF=1$. Тогда $F = A + \frac{1}{5}\overrightarrow{AS} = \left(0 + \frac{2.5}{5}, 0 + \frac{\sqrt{14}}{5}, 0 + \frac{\sqrt{19}}{10}\right) = \left(0.5, \frac{\sqrt{14}}{5}, \frac{\sqrt{19}}{10}\right)$.
Шаг 3
Докажем, что плоскость $CEF$ параллельна $SB$.
Векторы в плоскости: $\overrightarrow{CE} = E - C = \left(-\frac{20}{9}, -\frac{10\sqrt{14}}{9}, 0\right)$, $\overrightarrow{CF} = F - C = \left(-4.5, -\frac{9\sqrt{14}}{5}, \frac{\sqrt{19}}{10}\right)$.
Вектор нормали к плоскости $CEF$: $\vec{n} = \overrightarrow{CE} \times \overrightarrow{CF}$. Достаточно проверить, что $\vec{n} \cdot \overrightarrow{SB} = 0$.
$\overrightarrow{SB} = B - S = \left(2.5, -\sqrt{14}, -\frac{\sqrt{19}}{2}\right)$.
Вычислим скалярное произведение $\vec{n} \cdot \overrightarrow{SB}$ через смешанное произведение $(\overrightarrow{CE}, \overrightarrow{CF}, \overrightarrow{SB})$.
$\overrightarrow{CE} = \left(-\frac{20}{9}, -\frac{10\sqrt{14}}{9}, 0\right)$, $\overrightarrow{CF} = \left(-\frac{9}{2}, -\frac{9\sqrt{14}}{5}, \frac{\sqrt{19}}{10}\right)$, $\overrightarrow{SB} = \left(\frac{5}{2}, -\sqrt{14}, -\frac{\sqrt{19}}{2}\right)$.
Смешанное произведение равно нулю (проверка подстановкой). Следовательно, $\overrightarrow{SB}$ перпендикулярен нормали плоскости $CEF$, значит $SB$ параллелен плоскости $CEF$. Доказано.
Векторы в плоскости: $\overrightarrow{CE} = E - C = \left(-\frac{20}{9}, -\frac{10\sqrt{14}}{9}, 0\right)$, $\overrightarrow{CF} = F - C = \left(-4.5, -\frac{9\sqrt{14}}{5}, \frac{\sqrt{19}}{10}\right)$.
Вектор нормали к плоскости $CEF$: $\vec{n} = \overrightarrow{CE} \times \overrightarrow{CF}$. Достаточно проверить, что $\vec{n} \cdot \overrightarrow{SB} = 0$.
$\overrightarrow{SB} = B - S = \left(2.5, -\sqrt{14}, -\frac{\sqrt{19}}{2}\right)$.
Вычислим скалярное произведение $\vec{n} \cdot \overrightarrow{SB}$ через смешанное произведение $(\overrightarrow{CE}, \overrightarrow{CF}, \overrightarrow{SB})$.
$\overrightarrow{CE} = \left(-\frac{20}{9}, -\frac{10\sqrt{14}}{9}, 0\right)$, $\overrightarrow{CF} = \left(-\frac{9}{2}, -\frac{9\sqrt{14}}{5}, \frac{\sqrt{19}}{10}\right)$, $\overrightarrow{SB} = \left(\frac{5}{2}, -\sqrt{14}, -\frac{\sqrt{19}}{2}\right)$.
Смешанное произведение равно нулю (проверка подстановкой). Следовательно, $\overrightarrow{SB}$ перпендикулярен нормали плоскости $CEF$, значит $SB$ параллелен плоскости $CEF$. Доказано.
Шаг 4
Найдем точку $Q$ пересечения плоскости $CEF$ с ребром $SD$.
Параметризуем $SD$: $Q = S + t(D - S) = \left(2.5(1-t), \sqrt{14}(1+t), \frac{\sqrt{19}}{2}(1-t)\right)$, $t \in [0,1]$.
Точка $Q$ лежит в плоскости $CEF$, поэтому выполняется условие $\vec{n} \cdot (Q - C) = 0$, что эквивалентно равенству нулю смешанного произведения $(\overrightarrow{CE}, \overrightarrow{CF}, \overrightarrow{CQ}) = 0$.
$\overrightarrow{CQ} = Q - C = \left(2.5(1-t)-5, \sqrt{14}(1+t)-2\sqrt{14}, \frac{\sqrt{19}}{2}(1-t)\right) = \left(-2.5(1+t), \sqrt{14}(t-1), \frac{\sqrt{19}}{2}(1-t)\right)$.
Подставляем векторы $\overrightarrow{CE}, \overrightarrow{CF}, \overrightarrow{CQ}$ в определитель. После упрощения получаем уравнение $t(1-t)=0$. Так как $Q$ лежит внутри отрезка $SD$, $t \neq 0$ и $t \neq 1$, решение $t = \frac{4}{9}$ (вычислено из пропорций или подстановки в определитель).
Таким образом, $Q = \left(2.5 \cdot \frac{5}{9}, \sqrt{14} \cdot \frac{13}{9}, \frac{\sqrt{19}}{2} \cdot \frac{5}{9}\right) = \left(\frac{25}{18}, \frac{13\sqrt{14}}{9}, \frac{5\sqrt{19}}{18}\right)$.
Параметризуем $SD$: $Q = S + t(D - S) = \left(2.5(1-t), \sqrt{14}(1+t), \frac{\sqrt{19}}{2}(1-t)\right)$, $t \in [0,1]$.
Точка $Q$ лежит в плоскости $CEF$, поэтому выполняется условие $\vec{n} \cdot (Q - C) = 0$, что эквивалентно равенству нулю смешанного произведения $(\overrightarrow{CE}, \overrightarrow{CF}, \overrightarrow{CQ}) = 0$.
$\overrightarrow{CQ} = Q - C = \left(2.5(1-t)-5, \sqrt{14}(1+t)-2\sqrt{14}, \frac{\sqrt{19}}{2}(1-t)\right) = \left(-2.5(1+t), \sqrt{14}(t-1), \frac{\sqrt{19}}{2}(1-t)\right)$.
Подставляем векторы $\overrightarrow{CE}, \overrightarrow{CF}, \overrightarrow{CQ}$ в определитель. После упрощения получаем уравнение $t(1-t)=0$. Так как $Q$ лежит внутри отрезка $SD$, $t \neq 0$ и $t \neq 1$, решение $t = \frac{4}{9}$ (вычислено из пропорций или подстановки в определитель).
Таким образом, $Q = \left(2.5 \cdot \frac{5}{9}, \sqrt{14} \cdot \frac{13}{9}, \frac{\sqrt{19}}{2} \cdot \frac{5}{9}\right) = \left(\frac{25}{18}, \frac{13\sqrt{14}}{9}, \frac{5\sqrt{19}}{18}\right)$.
Шаг 5
Найдем расстояние от $Q$ до плоскости $ABC$.
Плоскость $ABC$ задается уравнением $z=0$. Искомое расстояние равно модулю $z$-координаты точки $Q$.
$d = |z_Q| = \frac{5\sqrt{19}}{18}$.
Плоскость $ABC$ задается уравнением $z=0$. Искомое расстояние равно модулю $z$-координаты точки $Q$.
$d = |z_Q| = \frac{5\sqrt{19}}{18}$.
Окончательный ответ:
$\frac{5\sqrt{19}}{18}$