Шаг 1
Выразим $y$ из второго уравнения.
Результат:
$y = |2a-4| - x^{2}$.
Шаг 2
Подставим $y$ в первое уравнение.
Результат:
$x^{4} + \left(|2a-4| - x^{2}\right)^{2} = a^{2}$.
Шаг 3
Сделаем замену $z = x^{2} \ge 0$.
Результат:
Уравнение принимает вид $2z^{2} - 2|2a-4|z + |2a-4|^{2} - a^{2} = 0$.
Шаг 4
Упростим уравнение.
Результат:
$z^{2} - |2a-4|z + \frac{|2a-4|^{2} - a^{2}}{2} = 0$.
Шаг 5
Для получения четырёх различных решений исходной системы квадратное уравнение относительно $z$ должно иметь два различных положительных корня.
Результат:
Условия: $D > 0$, $z_{1}+z_{2} > 0$, $z_{1}z_{2} > 0$.
Шаг 6
Вычислим дискриминант.
Условие $D > 0$: $2a^{2} > |2a-4|^{2}$.
Результат:
$D = |2a-4|^{2} - 2\left(|2a-4|^{2} - a^{2}\right) = 2a^{2} - |2a-4|^{2}$.
Условие $D > 0$: $2a^{2} > |2a-4|^{2}$.
Шаг 7
Рассмотрим случай $a \ge 2$, тогда $|2a-4| = 2a-4$.
Результат:
$D = 2a^{2} - (2a-4)^{2} = -4a^{2} + 16a - 16 = -4(a^{2} - 4a + 4) = -4(a-2)^{2}?$ Проверим: $2a^{2} - (4a^{2} - 16a + 16) = -2a^{2} + 16a - 16 = -2(a^{2} - 8a + 8)$. Условие $D > 0$: $a^{2} - 8a + 8 < 0$, откуда $a \in (4 - 2\sqrt{2},\; 4 + 2\sqrt{2})$. С учётом $a \ge 2$ получаем $a \in [2,\; 4 + 2\sqrt{2})$. Сумма корней $z_{1}+z_{2} = |2a-4| = 2a-4 > 0 \Rightarrow a > 2$. Произведение корней $z_{1}z_{2} = \frac{|2a-4|^{2} - a^{2}}{2} = \frac{(2a-4)^{2} - a^{2}}{2} = \frac{3a^{2} - 16a + 16}{2} > 0$. Решая $3a^{2} - 16a + 16 > 0$, находим $a \in (-\infty,\; \frac{8 - 4\sqrt{7}}{6}) \cup (\frac{8 + 4\sqrt{7}}{6},\; \infty)$. Учитывая $a > 2$, получаем $a > \frac{8 + 4\sqrt{7}}{6} \approx 4.43$. Пересекая условия $a > 2$, $a \in (4 - 2\sqrt{2},\; 4 + 2\sqrt{2})$ и $a > \frac{8 + 4\sqrt{7}}{6}$, получаем $a \in (4,\; 4 + 2\sqrt{2})$ (так как $4 > \frac{8 + 4\sqrt{7}}{6}$ и $4 > 4 - 2\sqrt{2}$).
Шаг 8
Рассмотрим случай $a < 2$, тогда $|2a-4| = 4-2a$.
Результат:
$D = 2a^{2} - (4-2a)^{2} = 2a^{2} - (16 - 16a + 4a^{2}) = -2a^{2} + 16a - 16 = -2(a^{2} - 8a + 8) > 0$. Это даёт $a^{2} - 8a + 8 < 0$, то есть $a \in (4 - 2\sqrt{2},\; 4 + 2\sqrt{2})$. С учётом $a < 2$ получаем $a \in (4 - 2\sqrt{2},\; 2)$. Сумма корней $z_{1}+z_{2} = |2a-4| = 4-2a > 0$ выполняется всегда при $a < 2$. Произведение корней $z_{1}z_{2} = \frac{(4-2a)^{2} - a^{2}}{2} = \frac{3a^{2} - 16a + 16}{2} > 0$. Как и выше, $3a^{2} - 16a + 16 > 0 \Rightarrow a \in (-\infty,\; \frac{8 - 4\sqrt{7}}{6}) \cup (\frac{8 + 4\sqrt{7}}{6},\; \infty)$. Учитывая $a < 2$, получаем $a < \frac{8 - 4\sqrt{7}}{6} \approx -0.43$. Пересекая с $a \in (4 - 2\sqrt{2},\; 2)$ (где $4 - 2\sqrt{2} \approx 1.17$), видим, что пересечение пусто. Проверим границу: при $a = \frac{4}{3}$ произведение равно нулю, что даёт один нулевой корень и один положительный, то есть два решения для $x$. Значит, нужно $a < \frac{4}{3}$ (так как при $a=\frac{4}{3}$ корни $0$ и положительный, а при уменьшении $a$ оба становятся положительными). Точнее, $3a^{2} - 16a + 16 > 0$ на интервале $a < \frac{8 - 4\sqrt{7}}{6} \approx -0.43$, но $4 - 2\sqrt{2} \approx 1.17$, поэтому на $(4 - 2\sqrt{2},\; 2)$ неравенство не выполняется. Однако произведение положительно также при $a > \frac{8 + 4\sqrt{7}}{6} \approx 4.43$, что не подходит. Следовательно, нужно решить $3a^{2} - 16a + 16 > 0$ в рамках $a < 2$. Корни: $a_{1,2} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 192}}{6} = \frac{16 \pm 8}{6}$, то есть $a_1 = 4$, $a_2 = \frac{4}{3}$. Неравенство $3a^{2} - 16a + 16 > 0$ верно при $a < \frac{4}{3}$ или $a > 4$. В случае $a < 2$ это даёт $a < \frac{4}{3}$. Пересекая с $a \in (4 - 2\sqrt{2},\; 2)$, получаем $a \in (4 - 2\sqrt{2},\; \frac{4}{3})$.
Шаг 9
Объединим решения из обоих случаев.
Результат:
$a \in (4 - 2\sqrt{2},\; \frac{4}{3}) \cup (4,\; 4 + 2\sqrt{2})$.
Окончательный ответ:
$(4-2\sqrt{2},\; \frac{4}{3}) \cup (4,\; 4+2\sqrt{2})$