Шаг 1
Введем систему координат. Поместим точку C в начало: $C=(0,0)$. Тогда $A=(5,0)$, $B=(0,1)$.
Шаг 2
Найдем координаты точек M и N. Так как $CM = BC = 1$, точка M лежит на AC: $M=(1,0)$. Так как $CN = AC = 5$, точка N лежит на продолжении BC за точку C: $N=(0,-5)$.
Шаг 3
Найдем медианы CP и CQ. Точка P — середина AB: $P=\left( \frac{5+0}{2}, \frac{0+1}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{1}{2} \right)$. Точка Q — середина NM: $Q=\left( \frac{0+1}{2}, \frac{-5+0}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, -\frac{5}{2} \right)$.
Шаг 4
Докажем перпендикулярность $CP$ и $CQ$. Векторы: $\overrightarrow{CP} = \left( \frac{5}{2}, \frac{1}{2} \right)$, $\overrightarrow{CQ} = \left( \frac{1}{2}, -\frac{5}{2} \right)$. Их скалярное произведение: $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{5}{2} \right) = \frac{5}{4} - \frac{5}{4} = 0$. Следовательно, $CP \perp CQ$.
Шаг 5
Найдем точку K пересечения прямых MN и AB. Уравнение прямой MN через M(1,0) и N(0,-5): $y = 5x - 5$. Уравнение прямой AB через A(5,0) и B(0,1): $y = -\frac{1}{5}x + 1$. Приравниваем: $5x - 5 = -\frac{1}{5}x + 1$. Умножаем на 5: $25x - 25 = -x + 5$, откуда $26x = 30$, $x = \frac{15}{13}$. Тогда $y = 5 \cdot \frac{15}{13} - 5 = \frac{10}{13}$. Итак, $K = \left( \frac{15}{13}, \frac{10}{13} \right)$.
Шаг 6
Найдем точку L пересечения прямых BM и AN. Уравнение прямой BM через B(0,1) и M(1,0): $y = -x + 1$. Уравнение прямой AN через A(5,0) и N(0,-5): $y = x - 5$. Приравниваем: $-x + 1 = x - 5$, откуда $2x = 6$, $x = 3$. Тогда $y = 3 - 5 = -2$. Итак, $L = (3, -2)$.
Шаг 7
Найдем длину отрезка KL. Разности координат: $\Delta x = 3 - \frac{15}{13} = \frac{24}{13}$, $\Delta y = -2 - \frac{10}{13} = -\frac{36}{13}$. Тогда $KL = \sqrt{ \left( \frac{24}{13} \right)^2 + \left( \frac{36}{13} \right)^2 } = \frac{1}{13} \sqrt{576 + 1296} = \frac{1}{13} \sqrt{1872} = \frac{1}{13} \sqrt{144 \cdot 13} = \frac{12\sqrt{13}}{13}$.
Окончательный ответ:
$\frac{12\sqrt{13}}{13}$