Шаг 1
Подставляем $y = x + a$ в первое уравнение $(x^{2} + y^{2} + 4x) \cdot \sqrt{2x + y + 6} = 0$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, при условии $2x + y + 6 \ge 0$. Получаем систему: либо $x^{2} + y^{2} + 4x = 0$, либо $\sqrt{2x + y + 6} = 0$, вместе с $y = x + a$ и $2x + y + 6 \ge 0$.
Шаг 2
Рассмотрим случай $x^{2} + y^{2} + 4x = 0$ при $y = x + a$. Подстановка даёт: $x^{2} + (x + a)^{2} + 4x = 0$, то есть $2x^{2} + (2a + 4)x + a^{2} = 0$. Делим на 2: $x^{2} + (a + 2)x + \frac{a^{2}}{2} = 0$. Дискриминант $D_{1} = (a + 2)^{2} - 2a^{2} = -a^{2} + 4a + 4$. Условие $D_{1} \ge 0$: $-a^{2} + 4a + 4 \ge 0 \Rightarrow a^{2} - 4a - 4 \le 0$, откуда $a \in \left[2 - 2\sqrt{2}, 2 + 2\sqrt{2}\right]$.
Шаг 3
Для решений этого случая должно выполняться $2x + y + 6 \ge 0$, то есть $3x + a + 6 \ge 0$.
Шаг 4
Рассмотрим случай $\sqrt{2x + y + 6} = 0$, то есть $2x + y + 6 = 0$. С учётом $y = x + a$: $3x + a + 6 = 0$, откуда $x = -\frac{a + 6}{3}$, $y = \frac{2a - 6}{3}$. Это решение всегда удовлетворяет условию $2x + y + 6 \ge 0$ (равенство). Проверим, когда оно также удовлетворяет $x^{2} + y^{2} + 4x = 0$: подстановка даёт $\frac{a(5a - 24)}{9} = 0$, то есть при $a = 0$ или $a = \frac{24}{5} = 4.8$. В этих точках решение будет общим для обоих случаев.
Шаг 5
Определим, сколько решений даёт случай 1 с учётом условия $3x + a + 6 \ge 0$. Корни: $x = \frac{-(a+2) \pm \sqrt{D_{1}}}{2}$. Условие для меньшего корня: $-a + 6 - 3\sqrt{D_{1}} \ge 0$. Решая, получаем, что оно выполняется при $a \in \left[2 - 2\sqrt{2}, 0\right] \cup \left[4.8, 2 + 2\sqrt{2}\right]$. Для большего корня условие выполняется всегда при $a$ из $\left[2 - 2\sqrt{2}, 2 + 2\sqrt{2}\right]$. Таким образом:
- При $a \in \left[2 - 2\sqrt{2}, 0\right] \cup \left[4.8, 2 + 2\sqrt{2}\right]$ случай 1 даёт 2 решения.
- При $a \in (0, 4.8)$ случай 1 даёт 1 решение (меньший корень не подходит).
- При $a = 2 \pm 2\sqrt{2}$ (границы) случай 1 даёт 1 решение (кратный корень).
- При $a \in \left[2 - 2\sqrt{2}, 0\right] \cup \left[4.8, 2 + 2\sqrt{2}\right]$ случай 1 даёт 2 решения.
- При $a \in (0, 4.8)$ случай 1 даёт 1 решение (меньший корень не подходит).
- При $a = 2 \pm 2\sqrt{2}$ (границы) случай 1 даёт 1 решение (кратный корень).
Шаг 6
Случай 2 всегда даёт ровно одно решение, если оно не совпадает с решением из случая 1 (что происходит только при $a = 0$ или $a = 4.8$).
Шаг 7
Подсчитаем общее количество различных решений системы для разных $a$.
- При $a \in \left[2 - 2\sqrt{2}, 0\right)$: случай 1 даёт 2 решения, случай 2 даёт 1 новое, итого 3 — не подходит.
- При $a = 0$: случай 1 даёт 2 решения, случай 2 даёт одно из них, различных решений 2 — подходит.
- При $a \in (0, 4.8)$: случай 1 даёт 1 решение, случай 2 даёт 1 новое, итого 2 — подходит.
- При $a = 4.8$: случай 1 даёт 2 решения, случай 2 совпадает с одним из них, различных решений 2 — подходит.
- При $a \in (4.8, 2 + 2\sqrt{2}]$: случай 1 даёт 2 решения, случай 2 даёт 1 новое, итого 3 — не подходит.
- При $a = 2 \pm 2\sqrt{2}$: случай 1 даёт 1 решение, случай 2 даёт 1 новое, итого 2 — подходит.
- При $a \in \left[2 - 2\sqrt{2}, 0\right)$: случай 1 даёт 2 решения, случай 2 даёт 1 новое, итого 3 — не подходит.
- При $a = 0$: случай 1 даёт 2 решения, случай 2 даёт одно из них, различных решений 2 — подходит.
- При $a \in (0, 4.8)$: случай 1 даёт 1 решение, случай 2 даёт 1 новое, итого 2 — подходит.
- При $a = 4.8$: случай 1 даёт 2 решения, случай 2 совпадает с одним из них, различных решений 2 — подходит.
- При $a \in (4.8, 2 + 2\sqrt{2}]$: случай 1 даёт 2 решения, случай 2 даёт 1 новое, итого 3 — не подходит.
- При $a = 2 \pm 2\sqrt{2}$: случай 1 даёт 1 решение, случай 2 даёт 1 новое, итого 2 — подходит.
Шаг 8
Объединяя подходящие значения, получаем: $a \in [0, 4.8] \cup \left\{2 - 2\sqrt{2}, 2 + 2\sqrt{2}\right\}$.
Окончательный ответ:
\([0, 4.8] \cup \left\{2 - 2\sqrt{2}, 2 + 2\sqrt{2}\right\}\)