Шаг 1
Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 4x + a$.
Шаг 2
Подставим во второе уравнение $2|y| - x^{2} + 4x = 0$:
$2|4x + a| - x^{2} + 4x = 0$.
$2|4x + a| - x^{2} + 4x = 0$.
Шаг 3
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $4x + a \ge 0$, тогда $|4x + a| = 4x + a$.
Уравнение: $2(4x + a) - x^{2} + 4x = 0 \Rightarrow -x^{2} + 12x + 2a = 0$, или
$x^{2} - 12x - 2a = 0$.
Дискриминант $D_{1} = 144 + 8a$, корни $x = 6 \pm \sqrt{36 + 2a}$.
Условие: $4x + a \ge 0$.
Случай 2: $4x + a < 0$, тогда $|4x + a| = -(4x + a)$.
Уравнение: $2(-(4x + a)) - x^{2} + 4x = 0 \Rightarrow -x^{2} - 4x - 2a = 0$, или
$x^{2} + 4x + 2a = 0$.
Дискриминант $D_{2} = 16 - 8a$, корни $x = -2 \pm \sqrt{4 - 2a}$.
Условие: $4x + a < 0$.
Случай 1: $4x + a \ge 0$, тогда $|4x + a| = 4x + a$.
Уравнение: $2(4x + a) - x^{2} + 4x = 0 \Rightarrow -x^{2} + 12x + 2a = 0$, или
$x^{2} - 12x - 2a = 0$.
Дискриминант $D_{1} = 144 + 8a$, корни $x = 6 \pm \sqrt{36 + 2a}$.
Условие: $4x + a \ge 0$.
Случай 2: $4x + a < 0$, тогда $|4x + a| = -(4x + a)$.
Уравнение: $2(-(4x + a)) - x^{2} + 4x = 0 \Rightarrow -x^{2} - 4x - 2a = 0$, или
$x^{2} + 4x + 2a = 0$.
Дискриминант $D_{2} = 16 - 8a$, корни $x = -2 \pm \sqrt{4 - 2a}$.
Условие: $4x + a < 0$.
Шаг 4
Корни из разных случаев не могут совпадать, так как условия $4x + a \ge 0$ и $4x + a < 0$ несовместны. Общее число решений системы равно сумме количеств корней из каждого случая, удовлетворяющих своим условиям.
Шаг 5
Анализ случая 1.
$D_{1} \ge 0$ при $a \ge -18$.
Корни: $x_{1} = 6 - \sqrt{36 + 2a}$, $x_{2} = 6 + \sqrt{36 + 2a}$.
Корень $x_{2}$ всегда удовлетворяет $4x + a \ge 0$ при $a \ge -18$.
Для $x_{1}$ условие $4x_{1} + a \ge 0$ равносильно $a + 24 \ge 4\sqrt{36 + 2a}$. Возводя в квадрат при $a \ge -18$, получаем $a(a + 16) \ge 0$, откуда $a \le -16$ или $a \ge 0$.
Итог для случая 1:
- $a < -18$: 0 корней.
- $a = -18$: 1 корень ($x = 6$).
- $-18 < a \le -16$: 2 корня.
- $-16 < a < 0$: 1 корень ($x_{2}$).
- $a \ge 0$: 2 корня.
$D_{1} \ge 0$ при $a \ge -18$.
Корни: $x_{1} = 6 - \sqrt{36 + 2a}$, $x_{2} = 6 + \sqrt{36 + 2a}$.
Корень $x_{2}$ всегда удовлетворяет $4x + a \ge 0$ при $a \ge -18$.
Для $x_{1}$ условие $4x_{1} + a \ge 0$ равносильно $a + 24 \ge 4\sqrt{36 + 2a}$. Возводя в квадрат при $a \ge -18$, получаем $a(a + 16) \ge 0$, откуда $a \le -16$ или $a \ge 0$.
Итог для случая 1:
- $a < -18$: 0 корней.
- $a = -18$: 1 корень ($x = 6$).
- $-18 < a \le -16$: 2 корня.
- $-16 < a < 0$: 1 корень ($x_{2}$).
- $a \ge 0$: 2 корня.
Шаг 6
Анализ случая 2.
$D_{2} \ge 0$ при $a \le 2$.
Корни: $x_{3} = -2 - \sqrt{4 - 2a}$, $x_{4} = -2 + \sqrt{4 - 2a}$.
Корень $x_{3}$ всегда удовлетворяет $4x + a < 0$ при $a \le 2$.
Для $x_{4}$ условие $4x_{4} + a < 0$ выполняется при $a > 0$ или $a < -16$ (и $a \le 2$).
Итог для случая 2:
- $a > 2$: 0 корней.
- $a = 2$: 1 корень ($x = -2$).
- $a \le -16$: 2 корня.
- $-16 < a \le 0$: 1 корень ($x_{3}$).
- $0 < a < 2$: 2 корня.
$D_{2} \ge 0$ при $a \le 2$.
Корни: $x_{3} = -2 - \sqrt{4 - 2a}$, $x_{4} = -2 + \sqrt{4 - 2a}$.
Корень $x_{3}$ всегда удовлетворяет $4x + a < 0$ при $a \le 2$.
Для $x_{4}$ условие $4x_{4} + a < 0$ выполняется при $a > 0$ или $a < -16$ (и $a \le 2$).
Итог для случая 2:
- $a > 2$: 0 корней.
- $a = 2$: 1 корень ($x = -2$).
- $a \le -16$: 2 корня.
- $-16 < a \le 0$: 1 корень ($x_{3}$).
- $0 < a < 2$: 2 корня.
Шаг 7
Суммируем количество решений.
- $a < -18$: 0 + 2 = 2.
- $a = -18$: 1 + 2 = 3.
- $-18 < a < -16$: 2 + 2 = 4.
- $a = -16$: 2 + 2 = 4.
- $-16 < a < 0$: 1 + 1 = 2.
- $a = 0$: 2 + 1 = 3.
- $0 < a < 2$: 2 + 2 = 4.
- $a = 2$: 2 + 1 = 3.
- $a > 2$: 2 + 0 = 2.
- $a < -18$: 0 + 2 = 2.
- $a = -18$: 1 + 2 = 3.
- $-18 < a < -16$: 2 + 2 = 4.
- $a = -16$: 2 + 2 = 4.
- $-16 < a < 0$: 1 + 1 = 2.
- $a = 0$: 2 + 1 = 3.
- $0 < a < 2$: 2 + 2 = 4.
- $a = 2$: 2 + 1 = 3.
- $a > 2$: 2 + 0 = 2.
Шаг 8
Система имеет ровно два различных решения при суммарном количестве 2. Это происходит при $a < -18$, $-16 < a < 0$ и $a > 2$.
Окончательный ответ:
$(-\infty, -18) \cup (-16, 0) \cup (2, +\infty)$.