Шаг 1
Правильно интерпретируем уравнение. Исходное уравнение: $9^{\sin 2x} - 3^{2\sqrt{\sin x} \cdot \sqrt{11\sin x}} = 0$. Упростим показатель второй степени: $2\sqrt{\sin x} \cdot \sqrt{11\sin x} = 2\sqrt{11 \sin^2 x} = 2\sqrt{11} \cdot |\sin x|$. Результат: Уравнение принимает вид $9^{\sin 2x} = 3^{2\sqrt{11} |\sin x|}$. Шаг 2: Приводим обе степени к основанию 3. $9^{\sin 2x} = (3^2)^{\sin 2x} = 3^{2\sin 2x}$. Получаем: $3^{2\sin 2x} = 3^{2\sqrt{11} |\sin x|}$. Результат: Показатели равны: $2\sin 2x = 2\sqrt{11} |\sin x|$. Шаг 3: Сокращаем на 2 и применяем формулу $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. Получаем: $2\sin x \cos x = \sqrt{11} |\sin x|$. Результат: Уравнение $\sin x \left( 2\cos x - \sqrt{11} \cdot \frac{|\sin x|}{\sin x} \right) = 0$. Шаг 4: Рассмотрим два случая. Случай 1: $\sin x = 0$. Тогда $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Случай 2: $\sin x \neq 0$. Тогда $\frac{|\sin x|}{\sin x} = \operatorname{sign}(\sin x) = \pm 1$. Уравнение: $2\cos x = \sqrt{11} \cdot \operatorname{sign}(\sin x)$. Так как $|\cos x| \leq 1$, а $\sqrt{11} \approx 3.32$, то $2|\cos x| \leq 2 < \sqrt{11}$. Результат: Уравнение $2\cos x = \pm \sqrt{11}$ не имеет решений, так как $\sqrt{11} > 2$. Шаг 5: Остаются только корни из случая 1: $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Проверим ОДЗ исходного уравнения: $\sin x \geq 0$ под корнями. Для $x = \pi n$: $\sin(\pi n) = 0 \geq 0$ — условие выполнено. Результат: Общее решение: $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Шаг 6: Найдем корни на отрезке $\left[ \frac{7\pi}{2}, 5\pi \right]$. Переведем границы: $\frac{7\pi}{2} = 3.5\pi$, $5\pi = 5\pi$. Корни $x = \pi n$: $n$ должно быть целым, $3.5\pi \leq \pi n \leq 5\pi$. Делим на $\pi$: $3.5 \leq n \leq 5$. Целые $n$: $n = 4, 5$. Соответствующие корни: $x_1 = 4\pi$, $x_2 = 5\pi$. Результат: Корни на отрезке: $4\pi$, $5\pi$. Окончательный ответ: а) $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$ б) $4\pi$, $5\pi$