Шаг 1
Введем замену $t = |x-a-1| + |x-a+1|$. Так как $t$ — сумма модулей, $t \ge 0$. Уравнение принимает вид $t^2 + a t + a^2 - 16 = 0$. Результат: Исходное уравнение свелось к квадратному относительно $t \ge 0$. Шаг 2: Исследуем функцию $t(x)$. Точки излома: $x_1 = a-1$, $x_2 = a+1$. 1) При $x \le a-1$: $t = -(x-a-1) - (x-a+1) = -2x + 2a$. 2) При $a-1 \le x \le a+1$: $t = -(x-a-1) + (x-a+1) = 2$. 3) При $x \ge a+1$: $t = (x-a-1) + (x-a+1) = 2x - 2a$. Результат: $t(x)$ — кусочно-линейная функция, минимальное значение $t_{min} = 2$ достигается на отрезке $[a-1, a+1]$, на лучах $t$ линейно возрастает от $2$ до $+\infty$. Шаг 3: Квадратное уравнение $t^2 + a t + a^2 - 16 = 0$ должно иметь такие корни $t \ge 2$, чтобы исходное уравнение имело ровно два различных корня $x$. Дискриминант: $D = a^2 - 4(a^2 - 16) = 64 - 3a^2$. Условие существования корней: $D \ge 0 \Rightarrow 64 - 3a^2 \ge 0 \Rightarrow a^2 \le \frac{64}{3} \Rightarrow |a| \le \frac{8}{\sqrt{3}}$. Корни: $t_{1,2} = \frac{-a \pm \sqrt{64 - 3a^2}}{2}$. Шаг 4: Анализ количества корней $x$ в зависимости от $t$. Если $t = 2$, то $x \in [a-1, a+1]$ — бесконечно много решений. Если $t > 2$, то уравнение $|x-a-1| + |x-a+1| = t$ имеет ровно два решения $x$ (симметрично относительно отрезка $[a-1, a+1]$). Если $t < 2$, то решений $x$ нет. Шаг 5: Рассмотрим случаи для корней $t_1$ и $t_2$. Обозначим $t_1 = \frac{-a - \sqrt{64 - 3a^2}}{2}$, $t_2 = \frac{-a + \sqrt{64 - 3a^2}}{2}$. Заметим: $t_1 \le t_2$, $t_1 + t_2 = -a$, $t_1 t_2 = a^2 - 16$. Случай 1: Оба корня $t_1, t_2 > 2$. Тогда каждому соответствует два различных $x$, итого 4 корня $x$ — не подходит. Случай 2: Один корень $t = 2$, другой $t > 2$. Тогда $t = 2$ дает отрезок решений $x$ (бесконечно много) — не подходит. Случай 3: Один корень $t > 2$, другой $t < 2$ (или отрицательный). Тогда $t > 2$ дает ровно два корня $x$, а второй корень не дает решений $x$. Случай 4: Один корень $t > 2$, другой $t = 2$ — уже рассмотрен, не подходит. Случай 5: Оба корня $t_1, t_2 < 2$ — тогда решений $x$ нет. Случай 6: $t_1 = t_2 > 2$ — тогда один $t$ дает два корня $x$, итого 2 корня — подходит. Случай 7: $t_1 = t_2 = 2$ — тогда бесконечно много решений — не подходит. Шаг 6: Условие для случая 3: $t_1 < 2$ и $t_2 > 2$. Это равносильно $t_2 > 2$ и $t_1 < 2$. Так как $t_1 \le t_2$, достаточно $t_2 > 2$ и $t_1 < 2$. Учитывая $t_1 t_2 = a^2 - 16$, если $t_2 > 2$ и $t_1 < 2$, то $t_1 t_2 < 2 t_2$, но это неудобно. Лучше использовать: $t_2 > 2$ и $t_1 \le 2$ (строго меньше, но на границе проверим отдельно). Или: $t_1 < 2 < t_2$. Шаг 7: Проверим граничные условия. Если $t_1 = 2$, то $t_2 > 2$ — не подходит (бесконечно много решений). Если $t_2 = 2$, то $t_1 < 2$ — не подходит (бесконечно много решений). Если $t_1 = t_2 > 2$ — подходит (два корня $x$). Если $t_1 = t_2 = 2$ — не подходит. Шаг 8: Найдем $a$, для которых $t_2 > 2$ и $t_1 < 2$. $t_2 > 2 \Rightarrow \frac{-a + \sqrt{64 - 3a^2}}{2} > 2 \Rightarrow \sqrt{64 - 3a^2} > 4 + a$. Рассмотрим два подслучая: 1) $4 + a < 0$, т.е. $a < -4$. Тогда неравенство верно автоматически (левая часть $\ge 0$, правая отрицательна). Но при $a < -4$ проверим $t_1 < 2$: $t_1 = \frac{-a - \sqrt{64 - 3a^2}}{2}$. При $a < -4$, $-a > 4$, $\sqrt{64 - 3a^2} > 0$, значит $t_1 > \frac{4 - \sqrt{64 - 3a^2}}{2}$. Нужно $t_1 < 2$. 2) $4 + a \ge 0$, т.е. $a \ge -4$. Тогда можно возвести в квадрат: $64 - 3a^2 > (4+a)^2 \Rightarrow 64 - 3a^2 > 16 + 8a + a^2 \Rightarrow -4a^2 - 8a + 48 > 0 \Rightarrow a^2 + 2a - 12 < 0 \Rightarrow (a+1)^2 < 13 \Rightarrow -1 - \sqrt{13} < a < -1 + \sqrt{13}$. Учитывая $a \ge -4$, получаем $a \in [-4, -1 + \sqrt{13})$. Теперь условие $t_1 < 2$: $\frac{-a - \sqrt{64 - 3a^2}}{2} < 2 \Rightarrow -a - \sqrt{64 - 3a^2} < 4 \Rightarrow -\sqrt{64 - 3a^2} < 4 + a$. Если $4 + a > 0$, то неравенство может выполняться или нет. Если $4 + a \le 0$, то правая часть $\le 0$, левая $-\sqrt{64 - 3a^2} \le 0$, неравенство может быть строгим. Проверим $a < -4$: тогда $4 + a < 0$, неравенство $-\sqrt{64 - 3a^2} < 4 + a$ равносильно $\sqrt{64 - 3a^2} > -(4+a) = |4+a|$. Возведем в квадрат: $64 - 3a^2 > (4+a)^2$ (так как обе части неотрицательны). Получаем то же условие $a^2 + 2a - 12 < 0$, т.е. $-1 - \sqrt{13} < a < -1 + \sqrt{13}$. Но при $a < -4$ это пересекается с $a < -4$ только если $-1 - \sqrt{13} < a < -4$. Численно: $-1 - \sqrt{13} \approx -4.605$, $-1 + \sqrt{13} \approx 2.606$. Итак, для $a < -4$ условие $t_1 < 2$ дает $a > -1 - \sqrt{13}$, т.е. $a \in (-1 - \sqrt{13}, -4)$. Но ранее для $a < -4$ условие $t_2 > 2$ выполнено автоматически. Значит, для $a \in (-1 - \sqrt{13}, -4)$ имеем $t_1 < 2$ и $t_2 > 2$. Для $a \ge -4$ условие $t_2 > 2$ дало $a < -1 + \sqrt{13}$, т.е. $a \in [-4, -1 + \sqrt{13})$. Проверим $t_1 < 2$ при этих $a$. При $a = -4$: $t_1 = \frac{4 - \sqrt{64 - 48}}{2} = \frac{4 - 4}{2} = 0 < 2$, $t_2 = \frac{4 + 4}{2} = 4 > 2$ — подходит. При $a$ близких к $-1 + \sqrt{13}$: $t_2 \to 2^+$, $t_1 < 2$ — подходит. Таким образом, для $a \in (-1 - \sqrt{13}, -1 + \sqrt{13})$ выполняется $t_1 < 2 < t_2$. Шаг 9: Случай $t_1 = t_2 > 2$ (один корень $t > 2$). Это происходит при $D = 0$, т.е. $64 - 3a^2 = 0 \Rightarrow a = \pm \frac{8}{\sqrt{3}}$. При $a = \frac{8}{\sqrt{3}} \approx 4.62$: $t = \frac{-a}{2} = -\frac{4}{\sqrt{3}} < 0$ — не подходит, так как $t \ge 0$. При $a = -\frac{8}{\sqrt{3}} \approx -4.62$: $t = \frac{-a}{2} = \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2.309 > 2$ — подходит. Проверим, что при $a = -\frac{8}{\sqrt{3}}$ корень $t \approx 2.309 > 2$, значит, уравнение $|x-a-1| + |x-a+1| = t$ имеет ровно два корня $x$. Шаг 10: Объединим все подходящие $a$. Из случая 3: $a \in (-1 - \sqrt{13}, -1 + \sqrt{13})$. Из случая 6: $a = -\frac{8}{\sqrt{3}}$. Заметим, что $-\frac{8}{\sqrt{3}} \approx -4.62$, а $-1 - \sqrt{13} \approx -4.605$. То есть $-\frac{8}{\sqrt{3}}$ немного меньше $-1 - \sqrt{13}$, поэтому оно не входит в интервал. Проверим границы: при $a = -1 - \sqrt{13}$: $D = 64 - 3(1 + 2\sqrt{13} + 13) = 64 - 3(14 + 2\sqrt{13}) = 64 - 42 - 6\sqrt{13} = 22 - 6\sqrt{13}$. $\sqrt{13} \approx 3.606$, $6\sqrt{13} \approx 21.636$, $D \approx 0.364 > 0$, так что два различных корня. $t_2 = \frac{-a + \sqrt{D}}{2} = \frac{1+\sqrt{13} + \sqrt{D}}{2}$. При $a = -1 - \sqrt{13}$ условие $t_2 > 2$? $\sqrt{D} \approx 0.603$, $t_2 \approx (1+3.606+0.603)/2 = 5.209/2 = 2.6045 > 2$. $t_1 = (1+\sqrt{13} - \sqrt{D})/2 \approx (4.606 - 0.603)/2 = 4.003/2 = 2.0015$. То есть $t_1$ чуть больше 2? На самом деле нужно точно проверить: при $a = -1 - \sqrt{13}$ $t_1 = 2$? Решим $t_1 = 2$: $\frac{-a - \sqrt{64 - 3a^2}}{2} = 2 \Rightarrow -a - \sqrt{64 - 3a^2} = 4 \Rightarrow \sqrt{64 - 3a^2} = -a - 4$. При $a = -1 - \sqrt{13}$, $-a - 4 = 1+\sqrt{13}-4 = \sqrt{13}-3 > 0$. Возведем в квадрат: $64 - 3a^2 = a^2 + 8a + 16 \Rightarrow 64 - 3a^2 - a^2 - 8a - 16 = 0 \Rightarrow -4a^2 - 8a + 48 = 0 \Rightarrow a^2 + 2a - 12 = 0$. Корни: $a = -1 \pm \sqrt{13}$. Для $a = -1 - \sqrt{13}$ выполняется. Значит, при $a = -1 - \sqrt{13}$ $t_1 = 2$. Тогда $t_2 > 2$. Но это случай "один корень равен 2, другой больше 2" — дает бесконечно много решений (так как $t=2$ дает отрезок). Поэтому $a = -1 - \sqrt{13}$ не включаем. Аналогично, при $a = -1 + \sqrt{13}$: $t_2 = 2$, $t_1 < 2$ — тоже бесконечно много решений. Поэтому интервал открытый: $a \in (-1 - \sqrt{13}, -1 + \sqrt{13})$. Шаг 11: Итоговые значения $a$: интервал $(-1 - \sqrt{13}, -1 + \sqrt{13})$ и точка $a = -\frac{8}{\sqrt{3}}$. Проверим, что $-\frac{8}{\sqrt{3}} \approx -4.62$ меньше $-1 - \sqrt{13} \approx -4.605$, поэтому точка не лежит в интервале. Окончательный ответ: $a \in \left( -1 - \sqrt{13}, -1 + \sqrt{13} \right) \cup \left\{ -\frac{8}{\sqrt{3}} \right\}$