Задание 17 ЕГЭ по физике проверяет знание и понимание основных положений специальной теории относительности (СТО) и умение устанавливать соответствие между физическими величинами и их изменениями в различных релятивистских процессах.
Для успешного выполнения задания 17 необходимо хорошо знать основные положения, постулаты и следствия специальной теории относительности, а также уметь применять релятивистские формулы для решения задач.
Специальная теория относительности, созданная Альбертом Эйнштейном в 1905 году, основана на двух постулатах:
События, одновременные в одной инерциальной системе отсчета, могут быть неодновременными в другой инерциальной системе отсчета, движущейся относительно первой.
Время в движущейся системе отсчета течет медленнее, чем в неподвижной. Этот эффект описывается формулой:
Δt' = Δt / √(1 - v²/c²)
где Δt' – промежуток времени между двумя событиями, измеренный в неподвижной системе отсчета, Δt – промежуток времени между теми же событиями, измеренный в движущейся системе отсчета, v – скорость движения системы отсчета, c – скорость света в вакууме.
Величина γ = 1 / √(1 - v²/c²) называется релятивистским фактором или лоренц-фактором.
Длина объекта в направлении движения в движущейся системе отсчета меньше, чем в неподвижной. Этот эффект описывается формулой:
l' = l · √(1 - v²/c²)
где l' – длина объекта, измеренная в движущейся системе отсчета, l – длина объекта, измеренная в неподвижной системе отсчета, v – скорость движения системы отсчета, c – скорость света в вакууме.
Можно также записать: l' = l / γ, где γ – релятивистский фактор.
В специальной теории относительности масса тела зависит от его скорости:
m = m₀ / √(1 - v²/c²)
где m – релятивистская масса тела, m₀ – масса покоя тела, v – скорость движения тела, c – скорость света в вакууме.
Можно также записать: m = m₀ · γ, где γ – релятивистский фактор.
Импульс тела в специальной теории относительности определяется формулой:
p = m₀ · v / √(1 - v²/c²)
где p – релятивистский импульс тела, m₀ – масса покоя тела, v – скорость движения тела, c – скорость света в вакууме.
Можно также записать: p = m₀ · v · γ, где γ – релятивистский фактор.
Полная энергия тела в специальной теории относительности определяется формулой:
E = m₀ · c² / √(1 - v²/c²)
где E – полная энергия тела, m₀ – масса покоя тела, v – скорость движения тела, c – скорость света в вакууме.
Можно также записать: E = m₀ · c² · γ, где γ – релятивистский фактор.
Энергия покоя тела – это энергия, которой обладает тело в состоянии покоя:
E₀ = m₀ · c²
где E₀ – энергия покоя тела, m₀ – масса покоя тела, c – скорость света в вакууме.
Кинетическая энергия тела в специальной теории относительности определяется формулой:
E_к = E - E₀ = m₀ · c² · (γ - 1)
где E_к – кинетическая энергия тела, E – полная энергия тела, E₀ – энергия покоя тела, m₀ – масса покоя тела, c – скорость света в вакууме, γ – релятивистский фактор.
В специальной теории относительности существует связь между полной энергией, импульсом и энергией покоя:
E² = (p · c)² + (m₀ · c²)²
где E – полная энергия тела, p – релятивистский импульс тела, m₀ – масса покоя тела, c – скорость света в вакууме.
Преобразования Лоренца описывают связь между координатами и временем события в разных инерциальных системах отсчета:
x' = (x - v·t) / √(1 - v²/c²)
y' = y
z' = z
t' = (t - v·x/c²) / √(1 - v²/c²)
где x', y', z', t' – координаты и время события в движущейся системе отсчета, x, y, z, t – координаты и время того же события в неподвижной системе отсчета, v – скорость движения системы отсчета вдоль оси x, c – скорость света в вакууме.
При решении задач на специальную теорию относительности необходимо:
Установите соответствие между физическими величинами и их изменениями при увеличении скорости движения тела от 0.5c до 0.9c (c – скорость света в вакууме).
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ:
А) Релятивистская масса тела
Б) Собственная длина тела
В) Полная энергия тела
ХАРАКТЕР ИЗМЕНЕНИЯ:
1) Увеличивается
2) Уменьшается
3) Не изменяется
Ответ: 131
Решение:
1. Релятивистская масса тела:
m = m₀ / √(1 - v²/c²) = m₀ · γ
где m₀ – масса покоя тела, v – скорость движения тела, c – скорость света в вакууме, γ – релятивистский фактор.
При увеличении скорости движения тела релятивистский фактор γ увеличивается, следовательно, релятивистская масса тела также увеличивается.
Для v = 0.5c: γ = 1 / √(1 - 0.5²) = 1 / √(1 - 0.25) = 1 / √0.75 ≈ 1.155
Для v = 0.9c: γ = 1 / √(1 - 0.9²) = 1 / √(1 - 0.81) = 1 / √0.19 ≈ 2.294
Таким образом, релятивистская масса тела увеличивается примерно в 2.294 / 1.155 ≈ 1.986 раза.
2. Собственная длина тела:
Собственная длина тела – это длина тела, измеренная в системе отсчета, в которой тело покоится. Собственная длина тела не зависит от скорости движения тела относительно других систем отсчета, поэтому она не изменяется.
3. Полная энергия тела:
E = m₀ · c² / √(1 - v²/c²) = m₀ · c² · γ
где m₀ – масса покоя тела, c – скорость света в вакууме, v – скорость движения тела, γ – релятивистский фактор.
При увеличении скорости движения тела релятивистский фактор γ увеличивается, следовательно, полная энергия тела также увеличивается.
Для v = 0.5c: E = m₀ · c² · 1.155 ≈ 1.155 · m₀ · c²
Для v = 0.9c: E = m₀ · c² · 2.294 ≈ 2.294 · m₀ · c²
Таким образом, полная энергия тела увеличивается примерно в 2.294 / 1.155 ≈ 1.986 раза.
Ответ: 131.
Космический корабль удаляется от Земли со скоростью v = 0.8c (c – скорость света в вакууме). Установите соответствие между физическими величинами и их значениями в системе отсчета, связанной с Землей, по сравнению с их значениями в системе отсчета, связанной с кораблем.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ:
А) Длина корабля
Б) Интервал времени между двумя событиями, происходящими на корабле
В) Масса покоя космонавта
ОТНОШЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ В СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА ЗЕМЛИ К ЗНАЧЕНИЮ В СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА КОРАБЛЯ:
1) Больше 1
2) Меньше 1
3) Равно 1
Ответ: 213
Решение:
1. Длина корабля:
Согласно эффекту сокращения длины, длина объекта в направлении движения в движущейся системе отсчета меньше, чем в неподвижной:
l' = l · √(1 - v²/c²)
где l' – длина объекта, измеренная в движущейся системе отсчета, l – длина объекта, измеренная в неподвижной системе отсчета, v – скорость движения системы отсчета, c – скорость света в вакууме.
В данной задаче l' – длина корабля, измеренная в системе отсчета Земли, l – длина корабля, измеренная в системе отсчета корабля (собственная длина).
l' = l · √(1 - 0.8²) = l · √(1 - 0.64) = l · √0.36 = l · 0.6
Таким образом, длина корабля в системе отсчета Земли составляет 0.6 от его собственной длины, т.е. отношение l'/l = 0.6 < 1.
2. Интервал времени между двумя событиями, происходящими на корабле:
Согласно эффекту замедления времени, время в движущейся системе отсчета течет медленнее, чем в неподвижной:
Δt' = Δt / √(1 - v²/c²)
где Δt' – промежуток времени между двумя событиями, измеренный в неподвижной системе отсчета, Δt – промежуток времени между теми же событиями, измеренный в движущейся системе отсчета, v – скорость движения системы отсчета, c – скорость света в вакууме.
В данной задаче Δt' – интервал времени, измеренный в системе отсчета Земли, Δt – интервал времени, измеренный в системе отсчета корабля (собственное время).
Δt' = Δt / √(1 - 0.8²) = Δt / √(1 - 0.64) = Δt / √0.36 = Δt / 0.6 = Δt · 1.667
Таким образом, интервал времени между двумя событиями, происходящими на корабле, в системе отсчета Земли в 1.667 раза больше, чем в системе отсчета корабля, т.е. отношение Δt'/Δt = 1.667 > 1.
3. Масса покоя космонавта:
Масса покоя – это инвариант специальной теории относительности, т.е. она не зависит от выбора инерциальной системы отсчета. Поэтому масса покоя космонавта одинакова в обеих системах отсчета.
Таким образом, отношение массы покоя космонавта в системе отсчета Земли к массе покоя космонавта в системе отсчета корабля равно 1.
Ответ: 213.
Частица массой m₀ движется со скоростью v = 0.6c (c – скорость света в вакууме). Установите соответствие между физическими величинами и их выражениями через массу покоя частицы m₀ и скорость света c.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ:
А) Релятивистская масса частицы
Б) Кинетическая энергия частицы
В) Полная энергия частицы
ВЫРАЖЕНИЯ:
1) 1.25 · m₀ · c²
2) 0.25 · m₀ · c²
3) 1.25 · m₀
4) 0.25 · m₀
Ответ: 321
Решение:
1. Релятивистская масса частицы:
m = m₀ / √(1 - v²/c²) = m₀ · γ
где m₀ – масса покоя частицы, v – скорость движения частицы, c – скорость света в вакууме, γ – релятивистский фактор.
Для v = 0.6c: γ = 1 / √(1 - 0.6²) = 1 / √(1 - 0.36) = 1 / √0.64 = 1 / 0.8 = 1.25
Таким образом, релятивистская масса частицы: m = m₀ · 1.25 = 1.25 · m₀
2. Кинетическая энергия частицы:
E_к = E - E₀ = m₀ · c² · (γ - 1)
где E_к – кинетическая энергия частицы, E – полная энергия частицы, E₀ – энергия покоя частицы, m₀ – масса покоя частицы, c – скорость света в вакууме, γ – релятивистский фактор.
Для v = 0.6c: E_к = m₀ · c² · (1.25 - 1) = m₀ · c² · 0.25 = 0.25 · m₀ · c²
3. Полная энергия частицы:
E = m₀ · c² / √(1 - v²/c²) = m₀ · c² · γ
где E – полная энергия частицы, m₀ – масса покоя частицы, c – скорость света в вакууме, v – скорость движения частицы, γ – релятивистский фактор.
Для v = 0.6c: E = m₀ · c² · 1.25 = 1.25 · m₀ · c²
Ответ: 321.
| Формула | Описание |
|---|---|
γ = 1 / √(1 - v²/c²) |
Релятивистский фактор (лоренц-фактор) |
Δt' = Δt / √(1 - v²/c²) = Δt · γ |
Замедление времени |
l' = l · √(1 - v²/c²) = l / γ |
Сокращение длины |
m = m₀ / √(1 - v²/c²) = m₀ · γ |
Релятивистская масса |
p = m₀ · v / √(1 - v²/c²) = m₀ · v · γ |
Релятивистский импульс |
E = m₀ · c² / √(1 - v²/c²) = m₀ · c² · γ |
Полная энергия |
E₀ = m₀ · c² |
Энергия покоя |
E_к = E - E₀ = m₀ · c² · (γ - 1) |
Кинетическая энергия |
E² = (p · c)² + (m₀ · c²)² |
Связь между энергией и импульсом |