Задание 22. Механика (расчётная задача). ЕГЭ 2025

Общая характеристика задания

Задание 22 в ЕГЭ по физике 2025 года представляет собой расчётную задачу повышенного уровня сложности, оцениваемую в 2 балла. Это задание требует от учащихся применения физических законов и формул для решения задач по механике.

Важно: В расчётной задаче необходимо не только получить правильный ответ, но и показать полное решение с указанием используемых физических законов и формул.

Особенности задания

Критерии оценивания

Баллы Критерии
2 Приведено полное решение, включающее следующие элементы:
  • верно записаны формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом;
  • проведены необходимые математические преобразования и расчёты, приводящие к правильному числовому ответу, и представлен ответ с указанием единиц измерения искомой величины.
1 Представлено решение, содержащее один из следующих недостатков:
  • в необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущена ошибка;
  • представлено решение, в котором верно записаны необходимые формулы, но не выполнены необходимые преобразования или вычисления.
0 Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 или 2 балла.

Основные формулы и законы механики

Кинематика

Равномерное прямолинейное движение:

\(s = vt\)

где \(s\) — перемещение, \(v\) — скорость, \(t\) — время.

Равноускоренное прямолинейное движение:

\(v = v_0 + at\)

\(s = v_0t + \frac{at^2}{2}\)

\(v^2 = v_0^2 + 2as\)

где \(v_0\) — начальная скорость, \(a\) — ускорение.

Движение по окружности:

\(\omega = \frac{v}{R}\)

\(a_ц = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R\)

где \(\omega\) — угловая скорость, \(R\) — радиус окружности, \(a_ц\) — центростремительное ускорение.

Динамика

Второй закон Ньютона:

\(\vec{F} = m\vec{a}\)

где \(\vec{F}\) — равнодействующая всех сил, \(m\) — масса тела, \(\vec{a}\) — ускорение тела.

Закон всемирного тяготения:

\(F = G\frac{m_1m_2}{r^2}\)

где \(G\) — гравитационная постоянная, \(m_1\) и \(m_2\) — массы тел, \(r\) — расстояние между телами.

Сила трения:

\(F_{тр} = \mu N\)

где \(\mu\) — коэффициент трения, \(N\) — сила нормальной реакции опоры.

Законы сохранения

Закон сохранения импульса:

\(\vec{p}_1 + \vec{p}_2 = \vec{p}'_1 + \vec{p}'_2\)

где \(\vec{p}\) — импульс тела до взаимодействия, \(\vec{p}'\) — импульс тела после взаимодействия.

Закон сохранения механической энергии:

\(E_к + E_п = const\)

\(\frac{mv^2}{2} + mgh = const\)

где \(E_к\) — кинетическая энергия, \(E_п\) — потенциальная энергия, \(h\) — высота.

Алгоритм решения расчётных задач по механике

  1. Внимательно прочитайте условие задачи и выделите известные и искомые величины.
  2. Сделайте схематический рисунок физической ситуации, если это необходимо.
  3. Выберите систему отсчёта и укажите положительные направления осей координат.
  4. Определите физические законы, которые применимы к данной ситуации.
  5. Запишите основные уравнения, связывающие известные и искомые величины.
  6. Выполните математические преобразования для нахождения искомой величины.
  7. Проведите вычисления и получите числовой ответ.
  8. Проверьте размерность полученного ответа и его физический смысл.
  9. Запишите ответ с указанием единиц измерения.

Типичные ошибки при решении расчётных задач по механике

Распространенные ошибки:

Примеры решения расчётных задач по механике

Пример 1: Кинематика

Условие: Тело бросили вертикально вверх с начальной скоростью 20 м/с. Определите промежуток времени между последовательными положениями тела на высоте 5 м. Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с².

Решение:

Выберем систему отсчёта с началом в точке броска и осью y, направленной вертикально вверх.

Для движения тела, брошенного вертикально вверх, зависимость координаты от времени имеет вид:

\(y = v_0t - \frac{gt^2}{2}\)

где \(v_0\) — начальная скорость, \(g\) — ускорение свободного падения, \(t\) — время.

Нам нужно найти моменты времени, когда тело находится на высоте \(y = 5\) м. Подставим известные значения в уравнение:

\(5 = 20t - \frac{10t^2}{2}\)

Преобразуем уравнение:

\(5 = 20t - 5t^2\) \(5t^2 - 20t + 5 = 0\) \(t^2 - 4t + 1 = 0\)

Решим квадратное уравнение:

\(D = 16 - 4 = 12\) \(t_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \frac{\sqrt{12}}{2} = 2 \pm \frac{2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}\) \(t_1 = 2 + \sqrt{3} \approx 3,7\) с \(t_2 = 2 - \sqrt{3} \approx 0,3\) с

Таким образом, тело находится на высоте 5 м дважды: при подъёме (в момент времени \(t_2 \approx 0,3\) с) и при спуске (в момент времени \(t_1 \approx 3,7\) с).

Промежуток времени между этими положениями:

\(\Delta t = t_1 - t_2 = (2 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3} \approx 3,4\) с

Ответ: 3,4 с.

Пример 2: Динамика

Условие: Камень бросили в горизонтальном направлении с некоторой высоты. Через 3 с его скорость оказалась направленной под углом 30° к горизонту. Определите начальную скорость камня. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение:

Выберем систему отсчёта с началом в точке броска, осью x, направленной горизонтально в направлении броска, и осью y, направленной вертикально вниз.

При движении камня в поле тяжести его скорость имеет две составляющие:

\(v_x = v_0\) (постоянна, так как горизонтальное движение равномерное) \(v_y = gt\) (увеличивается со временем из-за действия силы тяжести)

где \(v_0\) — начальная скорость, \(g\) — ускорение свободного падения, \(t\) — время.

Через 3 с скорость камня направлена под углом 30° к горизонту, то есть:

\(\tan 30° = \frac{v_y}{v_x} = \frac{gt}{v_0}\)

Подставим известные значения:

\(\tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{g \cdot 3}{v_0}\) \(v_0 = \frac{g \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{1} = 3g\sqrt{3}\)

Подставим значение \(g = 10\) м/с²:

\(v_0 = 3 \cdot 10 \cdot \sqrt{3} = 30\sqrt{3} \approx 51,96\) м/с

Ответ: 52,0 м/с.

Пример 3: Законы сохранения

Условие: С некоторой высоты вертикально вниз бросают мяч со скоростью 4 м/с. Абсолютно упруго отразившись от горизонтальной поверхности, мяч поднимается обратно вверх на высоту 3 м. Найдите, с какой высоты тело было сброшено первоначально. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение:

Обозначим искомую высоту как \(h\).

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. Поскольку удар абсолютно упругий, механическая энергия сохраняется.

Выберем уровень отсчёта потенциальной энергии на поверхности земли.

В начальном положении мяч имеет потенциальную энергию \(mgh\) и кинетическую энергию \(\frac{mv_0^2}{2}\):

\(E_1 = mgh + \frac{mv_0^2}{2}\)

где \(m\) — масса мяча, \(g\) — ускорение свободного падения, \(v_0 = 4\) м/с — начальная скорость.

Перед ударом о поверхность мяч имеет только кинетическую энергию. Скорость перед ударом можно найти из закона сохранения энергии:

\(mgh + \frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv_1^2}{2}\) \(v_1^2 = v_0^2 + 2gh\) \(v_1 = \sqrt{v_0^2 + 2gh}\)

При абсолютно упругом ударе скорость мяча после удара по модулю равна скорости перед ударом, но направлена в противоположную сторону:

\(v_2 = v_1\)

После удара мяч поднимается на высоту 3 м. В верхней точке подъёма вся энергия мяча переходит в потенциальную:

\(\frac{mv_2^2}{2} = mg \cdot 3\) \(v_2^2 = 2g \cdot 3 = 6g\)

Поскольку \(v_2 = v_1\), имеем:

\(v_0^2 + 2gh = 6g\) \(16 + 2gh = 6g\) \(2gh = 6g - 16\) \(h = \frac{6g - 16}{2g} = 3 - \frac{8}{g}\)

Подставим значение \(g = 10\) м/с²:

\(h = 3 - \frac{8}{10} = 3 - 0,8 = 2,2\) м

Ответ: 2,2 м.

Рекомендации по оформлению решения

  1. Запишите краткое условие задачи с указанием данных и искомой величины.
  2. Сделайте схематический рисунок, если это необходимо.
  3. Запишите основные физические законы и формулы, которые вы используете.
  4. Выполните математические преобразования, чётко показывая каждый шаг.
  5. Проведите вычисления, указывая единицы измерения.
  6. Запишите ответ с указанием единиц измерения.

Таблица основных формул механики для расчётных задач

Раздел механики Основные формулы
Кинематика прямолинейного движения
  • \(s = vt\) (равномерное движение)
  • \(v = v_0 + at\) (равноускоренное движение)
  • \(s = v_0t + \frac{at^2}{2}\) (равноускоренное движение)
  • \(v^2 = v_0^2 + 2as\) (равноускоренное движение)
Кинематика вращательного движения
  • \(\omega = \frac{v}{R}\) (связь линейной и угловой скоростей)
  • \(a_ц = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R\) (центростремительное ускорение)
  • \(\varphi = \omega t\) (равномерное вращение)
  • \(\omega = \omega_0 + \varepsilon t\) (равноускоренное вращение)
Динамика
  • \(\vec{F} = m\vec{a}\) (второй закон Ньютона)
  • \(F = G\frac{m_1m_2}{r^2}\) (закон всемирного тяготения)
  • \(F_{тр} = \mu N\) (сила трения)
  • \(F_y = mg\) (сила тяжести)
  • \(F_A = \rho gV\) (сила Архимеда)
Законы сохранения
  • \(\vec{p} = m\vec{v}\) (импульс тела)
  • \(\vec{p}_1 + \vec{p}_2 = \vec{p}'_1 + \vec{p}'_2\) (закон сохранения импульса)
  • \(E_к = \frac{mv^2}{2}\) (кинетическая энергия)
  • \(E_п = mgh\) (потенциальная энергия в поле тяжести)
  • \(E_к + E_п = const\) (закон сохранения механической энергии)
Механические колебания
  • \(x = A\sin(\omega t + \varphi_0)\) (уравнение гармонических колебаний)
  • \(T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\) (период колебаний пружинного маятника)
  • \(T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\) (период колебаний математического маятника)

Источники: