Задание 24. Электродинамика (расчётная задача высокого уровня сложности). ЕГЭ 2025

Общая характеристика задания

Задание 24 в ЕГЭ по физике 2025 года представляет собой расчётную задачу высокого уровня сложности, оцениваемую в 3 балла. Это задание требует от учащихся применения физических законов и формул для решения сложных задач по электродинамике.

Важно: В расчётной задаче высокого уровня сложности необходимо не только получить правильный ответ, но и показать полное решение с указанием используемых физических законов и формул, а также выполнить все необходимые математические преобразования.

Особенности задания

Критерии оценивания

Баллы Критерии
3 Приведено полное решение, включающее следующие элементы:
  • верно записаны формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом;
  • проведены необходимые математические преобразования и расчёты, приводящие к правильному числовому ответу, и представлен ответ с указанием единиц измерения искомой величины.
2 Представлено решение, содержащее один из следующих недостатков:
  • в необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущена ошибка;
  • представлено решение, в котором верно записаны необходимые формулы, но не выполнены необходимые преобразования или вычисления.
1 Представлено решение, в котором содержится один из следующих недостатков:
  • в необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки;
  • представлено неполное решение, в котором верно записаны только некоторые из необходимых формул.
0 Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2 или 3 балла.

Основные формулы и законы электродинамики

Электростатика

Закон Кулона:

\(F = k\frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2}\)

где \(k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9 \cdot 10^9\) Н·м²/Кл² — электрическая постоянная, \(q_1\) и \(q_2\) — заряды, \(r\) — расстояние между зарядами.

Напряжённость электрического поля:

\(\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q}\)

где \(\vec{F}\) — сила, действующая на заряд \(q\).

Напряжённость поля точечного заряда:

\(E = k\frac{|q|}{r^2}\)

Потенциал электрического поля:

\(\varphi = k\frac{q}{r}\)

Связь напряжённости и потенциала:

\(E = -\frac{d\varphi}{dr}\)

Работа электрического поля:

\(A = q(\varphi_1 - \varphi_2) = qU\)

где \(U\) — разность потенциалов (напряжение).

Электроёмкость конденсатора:

\(C = \frac{q}{U}\)

Электроёмкость плоского конденсатора:

\(C = \frac{\varepsilon\varepsilon_0 S}{d}\)

где \(\varepsilon\) — диэлектрическая проницаемость среды, \(S\) — площадь пластин, \(d\) — расстояние между пластинами.

Энергия заряженного конденсатора:

\(W = \frac{CU^2}{2} = \frac{q^2}{2C} = \frac{qU}{2}\)

Постоянный ток

Сила тока:

\(I = \frac{q}{t}\)

где \(q\) — заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время \(t\).

Закон Ома для участка цепи:

\(I = \frac{U}{R}\)

где \(U\) — напряжение, \(R\) — сопротивление.

Закон Ома для полной цепи:

\(I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}\)

где \(\mathcal{E}\) — ЭДС источника, \(R\) — внешнее сопротивление, \(r\) — внутреннее сопротивление источника.

Сопротивление проводника:

\(R = \rho\frac{l}{S}\)

где \(\rho\) — удельное сопротивление, \(l\) — длина проводника, \(S\) — площадь поперечного сечения.

Последовательное соединение резисторов:

\(R = R_1 + R_2 + ... + R_n\)

Параллельное соединение резисторов:

\(\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... + \frac{1}{R_n}\)

Работа и мощность тока:

\(A = UIt\)

\(P = UI = I^2R = \frac{U^2}{R}\)

Закон Джоуля-Ленца:

\(Q = I^2Rt\)

Магнитное поле

Сила Ампера:

\(F_A = IB\ell\sin\alpha\)

где \(I\) — сила тока, \(B\) — индукция магнитного поля, \(\ell\) — длина проводника, \(\alpha\) — угол между направлением тока и вектором магнитной индукции.

Сила Лоренца:

\(F_L = qvB\sin\alpha\)

где \(q\) — заряд частицы, \(v\) — скорость частицы, \(\alpha\) — угол между скоростью и вектором магнитной индукции.

Магнитный поток:

\(\Phi = BS\cos\alpha\)

где \(S\) — площадь контура, \(\alpha\) — угол между нормалью к контуру и вектором магнитной индукции.

Электромагнитная индукция

Закон электромагнитной индукции Фарадея:

\(\mathcal{E}_i = -\frac{d\Phi}{dt}\)

где \(\mathcal{E}_i\) — ЭДС индукции, \(\Phi\) — магнитный поток.

ЭДС индукции в движущемся проводнике:

\(\mathcal{E}_i = Bv\ell\sin\alpha\)

где \(v\) — скорость движения проводника, \(\ell\) — длина проводника, \(\alpha\) — угол между скоростью и вектором магнитной индукции.

Индуктивность:

\(\Phi = LI\)

где \(L\) — индуктивность контура, \(I\) — сила тока в контуре.

ЭДС самоиндукции:

\(\mathcal{E}_s = -L\frac{dI}{dt}\)

Энергия магнитного поля:

\(W = \frac{LI^2}{2}\)

Электромагнитные колебания

Колебательный контур:

\(T = 2\pi\sqrt{LC}\)

где \(T\) — период колебаний, \(L\) — индуктивность, \(C\) — ёмкость.

Закон Ома для цепи переменного тока:

\(I = \frac{U}{Z}\)

где \(Z\) — полное сопротивление (импеданс).

Импеданс цепи переменного тока:

\(Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\)

где \(X_L = \omega L\) — индуктивное сопротивление, \(X_C = \frac{1}{\omega C}\) — ёмкостное сопротивление, \(\omega = 2\pi f\) — циклическая частота.

Алгоритм решения расчётных задач по электродинамике

  1. Внимательно прочитайте условие задачи и выделите известные и искомые величины.
  2. Сделайте схематический рисунок физической ситуации, если это необходимо.
  3. Определите физические законы, которые применимы к данной ситуации.
  4. Запишите основные уравнения, связывающие известные и искомые величины.
  5. Выполните математические преобразования для нахождения искомой величины.
  6. Проведите вычисления и получите числовой ответ.
  7. Проверьте размерность полученного ответа и его физический смысл.
  8. Запишите ответ с указанием единиц измерения.

Типичные ошибки при решении расчётных задач по электродинамике

Распространенные ошибки:

Примеры решения расчётных задач по электродинамике

Пример 1: Движение заряженной частицы в магнитном поле

Условие: Электрон влетает в однородное магнитное поле с индукцией 0,1 Тл перпендикулярно линиям индукции со скоростью 10⁷ м/с. Определите радиус траектории электрона и период его обращения. Масса электрона 9,1·10⁻³¹ кг, заряд электрона 1,6·10⁻¹⁹ Кл.

Решение:

При движении заряженной частицы в магнитном поле перпендикулярно линиям индукции на неё действует сила Лоренца, которая играет роль центростремительной силы:

\(F_L = qvB\)

где \(q\) — заряд частицы, \(v\) — скорость частицы, \(B\) — индукция магнитного поля.

Центростремительная сила связана с радиусом траектории соотношением:

\(F_ц = \frac{mv^2}{R}\)

где \(m\) — масса частицы, \(R\) — радиус траектории.

Приравняем эти силы:

\(qvB = \frac{mv^2}{R}\)

Отсюда находим радиус траектории:

\(R = \frac{mv}{qB}\)

Подставляем числовые значения:

\(R = \frac{9,1 \cdot 10^{-31} \cdot 10^7}{1,6 \cdot 10^{-19} \cdot 0,1} = \frac{9,1 \cdot 10^{-24}}{1,6 \cdot 10^{-20}} = 5,69 \cdot 10^{-4}\) м = 0,569 мм

Период обращения электрона можно найти, зная, что за время одного оборота частица проходит путь, равный длине окружности \(2\pi R\), со скоростью \(v\):

\(T = \frac{2\pi R}{v}\)

Подставляем выражение для радиуса:

\(T = \frac{2\pi \cdot \frac{mv}{qB}}{v} = \frac{2\pi m}{qB}\)

Подставляем числовые значения:

\(T = \frac{2\pi \cdot 9,1 \cdot 10^{-31}}{1,6 \cdot 10^{-19} \cdot 0,1} = \frac{2\pi \cdot 9,1 \cdot 10^{-31}}{1,6 \cdot 10^{-20}} = 2\pi \cdot 5,69 \cdot 10^{-11} = 3,57 \cdot 10^{-10}\) с

Ответ: радиус траектории 0,569 мм, период обращения 3,57·10⁻¹⁰ с.

Пример 2: Электрическая цепь

Условие: В электрической цепи, состоящей из источника тока с ЭДС 12 В и внутренним сопротивлением 1 Ом, резистора с сопротивлением 5 Ом и конденсатора ёмкостью 200 мкФ, ключ замыкают в момент времени t = 0. Определите заряд конденсатора через 1 мс после замыкания ключа.

Решение:

При замыкании ключа в цепи начинается процесс зарядки конденсатора. Зависимость заряда конденсатора от времени при зарядке через резистор описывается формулой:

\(q(t) = q_0 \cdot (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})\)

где \(q_0 = C \cdot \mathcal{E}\) — максимальный заряд конденсатора, \(C\) — ёмкость конденсатора, \(\mathcal{E}\) — ЭДС источника, \(\tau = (R + r) \cdot C\) — постоянная времени цепи, \(R\) — сопротивление резистора, \(r\) — внутреннее сопротивление источника.

Рассчитаем максимальный заряд конденсатора:

\(q_0 = C \cdot \mathcal{E} = 200 \cdot 10^{-6} \cdot 12 = 2,4 \cdot 10^{-3}\) Кл

Рассчитаем постоянную времени цепи:

\(\tau = (R + r) \cdot C = (5 + 1) \cdot 200 \cdot 10^{-6} = 1,2 \cdot 10^{-3}\) с

Теперь найдём заряд конденсатора через 1 мс (0,001 с) после замыкания ключа:

\(q(0,001) = 2,4 \cdot 10^{-3} \cdot (1 - e^{-\frac{0,001}{1,2 \cdot 10^{-3}}}) = 2,4 \cdot 10^{-3} \cdot (1 - e^{-0,833}) = 2,4 \cdot 10^{-3} \cdot (1 - 0,434) = 2,4 \cdot 10^{-3} \cdot 0,566 = 1,36 \cdot 10^{-3}\) Кл

Ответ: 1,36·10⁻³ Кл.

Пример 3: Электромагнитная индукция

Условие: Проволочная рамка площадью 100 см² расположена в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции. Индукция магнитного поля равномерно убывает от 0,5 Тл до 0,1 Тл за 0,2 с. Определите ЭДС индукции, возникающую в рамке.

Решение:

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции равна скорости изменения магнитного потока через контур с обратным знаком:

\(\mathcal{E}_i = -\frac{d\Phi}{dt}\)

Магнитный поток через рамку, расположенную перпендикулярно линиям индукции, равен:

\(\Phi = BS\)

где \(B\) — индукция магнитного поля, \(S\) — площадь рамки.

Индукция магнитного поля равномерно убывает от \(B_1 = 0,5\) Тл до \(B_2 = 0,1\) Тл за время \(\Delta t = 0,2\) с. Скорость изменения индукции:

\(\frac{dB}{dt} = \frac{B_2 - B_1}{\Delta t} = \frac{0,1 - 0,5}{0,2} = -2\) Тл/с

Скорость изменения магнитного потока:

\(\frac{d\Phi}{dt} = \frac{d(BS)}{dt} = S \cdot \frac{dB}{dt}\)

Площадь рамки \(S = 100\) см² = 0,01 м².

Подставляем в формулу для ЭДС индукции:

\(\mathcal{E}_i = -\frac{d\Phi}{dt} = -S \cdot \frac{dB}{dt} = -0,01 \cdot (-2) = 0,02\) В

Ответ: 0,02 В.

Рекомендации по оформлению решения

  1. Запишите краткое условие задачи с указанием данных и искомой величины.
  2. Сделайте схематический рисунок, если это необходимо.
  3. Запишите основные физические законы и формулы, которые вы используете.
  4. Выполните математические преобразования, чётко показывая каждый шаг.
  5. Проведите вычисления, указывая единицы измерения.
  6. Запишите ответ с указанием единиц измерения.

Таблица основных формул электродинамики для расчётных задач

Раздел электродинамики Основные формулы
Электростатика
  • \(F = k\frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2}\) (закон Кулона)
  • \(E = k\frac{|q|}{r^2}\) (напряжённость поля точечного заряда)
  • \(\varphi = k\frac{q}{r}\) (потенциал поля точечного заряда)
  • \(A = qU\) (работа электрического поля)
  • \(C = \frac{q}{U}\) (электроёмкость)
  • \(W = \frac{CU^2}{2}\) (энергия заряженного конденсатора)
Постоянный ток
  • \(I = \frac{U}{R}\) (закон Ома для участка цепи)
  • \(I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}\) (закон Ома для полной цепи)
  • \(R = \rho\frac{l}{S}\) (сопротивление проводника)
  • \(P = UI = I^2R = \frac{U^2}{R}\) (мощность тока)
  • \(Q = I^2Rt\) (закон Джоуля-Ленца)
Магнитное поле
  • \(F_A = IB\ell\sin\alpha\) (сила Ампера)
  • \(F_L = qvB\sin\alpha\) (сила Лоренца)
  • \(\Phi = BS\cos\alpha\) (магнитный поток)
Электромагнитная индукция
  • \(\mathcal{E}_i = -\frac{d\Phi}{dt}\) (закон электромагнитной индукции)
  • \(\mathcal{E}_i = Bv\ell\sin\alpha\) (ЭДС индукции в движущемся проводнике)
  • \(\Phi = LI\) (индуктивность)
  • \(\mathcal{E}_s = -L\frac{dI}{dt}\) (ЭДС самоиндукции)
  • \(W = \frac{LI^2}{2}\) (энергия магнитного поля)
Электромагнитные колебания
  • \(T = 2\pi\sqrt{LC}\) (период колебаний в контуре)
  • \(I = \frac{U}{Z}\) (закон Ома для цепи переменного тока)
  • \(Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\) (импеданс)

Источники: